引言
今天这篇文章讲解一道活跃于各个大厂（腾讯、字节、阿里等）面试中的题目：Top K 问题，将按照以下脉络介绍：
- 什么是 Top K 问题
- Top K 问题的五种经典解法
- 快速回顾与总结
- 练习题 Top K 三剑客：最小 K 个数、前 K 个高频元素、第 K 个最小元素（含解答）
下面直接开始吧👇
一、什么是 Top K 问题
什么是 Top K 问题？简单来说就是在一组数据里面找到频率出现最高的前 K 个数，或前 K 大（当然也可以是前 K 小）的数。
经典的 Top K 问题有：最大（小） K 个数、前 K 个高频元素、第 K 个最大（小）元素
下面以求数组中的第 K 个最大元素为例，介绍 Top K 问题的解法
题目：
在未排序的数组中找到第 k 个最大的元素。请注意，你需要找的是数组排序后的第 k 个最大的元素。
示例:
输入: [4,5,1,6,2,7,3,8] 和 k = 4
输出: 5
二、解法：全局排序，取第 k 个数
我们能想到的最简单的就是将数组进行排序（可以是最简单的快排），取前 K 个数就可以了，so easy
代码实现：
let findKthLargest = function(nums, k) {
nums.sort((a, b) => b - a);
return nums[k-1]
};
复杂度分析：
- 时间复杂度：O(nlogn)
- 空间复杂度：O(logn)
注意：
在 V8 引擎 7.0 版本之前，数组长度小于10时， Array.prototype.sort() 使用的是插入排序，否则用快速排序。
在 V8 引擎 7.0 版本之后就舍弃了快速排序，因为它不是稳定的排序算法，在最坏情况下，时间复杂度会降级到 O(n2)。
而是采用了一种混合排序的算法：TimSort 。
这种功能算法最初用于Python语言中，严格地说它不属于以上10种排序算法中的任何一种，属于一种混合排序算法：
在数据量小的子数组中使用插入排序，然后再使用归并排序将有序的子数组进行合并排序，时间复杂度为 O(nlogn) 。
三、解法：局部排序，冒泡
题目仅仅需要求出数组中的第K个最大元素，没必要对数组整体进行排序
可以使用冒泡排序，每次将最大的数在最右边冒泡出来，只冒泡 k次即可
动图演示
代码实现
let findKthLargest = function(nums, k) {
// 进行k轮冒泡排序
bubbleSort(nums, k)
return nums[nums.length-k]
}
let bubbleSort = function(arr, k) {
for (let i = 0; i < k; i++) {
// 提前退出冒泡循环的标识位
let flag = false;
for (let j = 0; j < arr.length - i - 1; j++) {
if (arr[j] > arr[j + 1]) {
const temp = arr[j];
arr[j] = arr[j + 1];
arr[j + 1] = temp;
flag = true;
// 表示发生了数据交换
}
}
// 没有数据交换
if(!flag) break
}
}
复杂度分析：
- 时间复杂度：最好时间复杂度 O(n)，平均时间复杂度 O(n*k)
- 空间复杂度：O(1)
四、解法：构造前 k 个最大元素小顶堆，取堆顶
我们也可以通过构造一个前 k 个最大元素小顶堆来解决，小顶堆上的任意节点值都必须小于等于其左右子节点值，即堆顶是最小值。
所以我们可以从数组中取出 k 个元素构造一个小顶堆，然后将其余元素与小顶堆对比，如果大于堆顶则替换堆顶，然后堆化，所有元素遍历完成后，堆中的堆顶即为第 k 个最大值
具体步骤如下：
- 从数组中取前
k个数（0到k-1位），构造一个小顶堆 - 从
k位开始遍历数组，每一个数据都和小顶堆的堆顶元素进行比较，如果小于堆顶元素，则不做任何处理，继续遍历下一元素；如果大于堆顶元素，则将这个元素替换掉堆顶元素，然后再堆化成一个小顶堆。 - 遍历完成后，堆顶的数据就是第 K 大的数据
代码实现：
let findKthLargest = function(nums, k) {
// 从 nums 中取出前 k 个数，构建一个小顶堆
let heap = [,], i = 0
while(i < k) {
heap.push(nums[i++])
}
buildHeap(heap, k)
// 从 k 位开始遍历数组
for(let i = k; i < nums.length; i++) {
if(heap[1] < nums[i]) {
// 替换并堆化
heap[1] = nums[i]
heapify(heap, k, 1)
}
}
// 返回堆顶元素
return heap[1]
};
// 原地建堆，从后往前，自上而下式建小顶堆
let buildHeap = (arr, k) => {
if(k === 1) return
// 从最后一个非叶子节点开始，自上而下式堆化
for(let i = Math.floor(k/2); i>=1 ; i--) {
heapify(arr, k, i)
}
}
// 堆化
let heapify = (arr, k, i) => {
// 自上而下式堆化
while(true) {
let minIndex = i
if(2*i <= k && arr[2*i] < arr[i]) {
minIndex = 2*i
}
if(2*i+1 <= k && arr[2*i+1] < arr[minIndex]) {
minIndex = 2*i+1
}
if(minIndex !== i) {
swap(arr, i, minIndex)
i = minIndex
} else {
break
}
}
}
// 交换
let swap = (arr, i , j) => {
let temp = arr[i]
arr[i] = arr[j]
arr[j] = temp
}
复杂度分析：
- 时间复杂度：遍历数组需要 O(n) 的时间复杂度，一次堆化需要 O(logk) 时间复杂度，所以利用堆求 Top k 问题的时间复杂度为 O(nlogk)
- 空间复杂度：O(k)
利用堆求 Top k 问题的优势
这种求 Top k 问题是可以使用排序来处理，但当我们需要在一个动态数组中求 Top k 元素怎么办喃？
动态数组可能会插入或删除元素，难道我们每次求 Top k 问题的时候都需要对数组进行重新排序吗？那每次的时间复杂度都为 O(nlogn)
这里就可以使用堆，我们可以维护一个 K 大小的小顶堆，当有数据被添加到数组中时，就将它与堆顶元素比较，如果比堆顶元素大，则将这个元素替换掉堆顶元素，然后再堆化成一个小顶堆；如果比堆顶元素小，则不做处理。这样，每次求 Top k 问题的时间复杂度仅为 O(logk)
更多堆内容可查看 前端进阶算法9：看完这篇，再也不怕堆排序、Top K、中位数问题面试了
五、解法：优化，快速选择（quickselect）算法
无论是排序算法还是构造堆求解 Top k问题，我们都经过的一定量的不必要操作：
- 如果使用排序算法，我们仅仅想要的是第 k 个最大值，但是我们却对数组进行了整体或局部的排序
- 如果使用堆排序，需要维护一个大小为
k的堆(大顶堆，小顶堆)，同时花费时间也很昂贵，时间复杂度为O(nlogk)
那么有没有一种算法，不需要进行排序，也不需要花费额外的空间，就能获取第 K 个最大元素喃？
这就要说到快速选择算法了😊
快速选择（quickselect）算法与快排思路上相似，下面普及一下快排，已经了解的朋友可以跳过这一段
快排
快排使用了分治策略的思想，所谓分治，顾名思义，就是分而治之，将一个复杂的问题，分成两个或多个相似的子问题，在把子问题分成更小的子问题，直到更小的子问题可以简单求解，求解子问题，则原问题的解则为子问题解的合并。
快排的过程简单的说只有三步：
- 首先从序列中选取一个数作为基准数
- 将比这个数大的数全部放到它的右边，把小于或者等于它的数全部放到它的左边 （一次快排
partition） - 然后分别对基准的左右两边重复以上的操作，直到数组完全排序
具体按以下步骤实现：
- 1，创建两个指针分别指向数组的最左端以及最右端
- 2，在数组中任意取出一个元素作为基准
- 3，左指针开始向右移动，遇到比基准大的停止
- 4，右指针开始向左移动，遇到比基准小的元素停止，交换左右指针所指向的元素
- 5，重复3，4，直到左指针超过右指针，此时，比基准小的值就都会放在基准的左边，比基准大的值会出现在基准的右边
- 6，然后分别对基准的左右两边重复以上的操作，直到数组完全排序
注意这里的基准该如何选择喃？最简单的一种做法是每次都是选择最左边的元素作为基准：
但这对几乎已经有序的序列来说，并不是最好的选择，它将会导致算法的最坏表现。还有一种做法，就是选择中间的数或通过 Math.random() 来随机选取一个数作为基准，下面的代码实现就是以随机数作为基准。
代码实现
let quickSort = (arr) => {
quick(arr, 0 , arr.length - 1)
}
let quick = (arr, left, right) => {
let index
if(left < right) {
// 划分数组
index = partition(arr, left, right)
if(left < index - 1) {
quick(arr, left, index - 1)
}
if(index < right) {
quick(arr, index, right)
}
}
}
// 一次快排
let partition = (arr, left, right) => {
// 取中间项为基准
var datum = arr[Math.floor(Math.random() * (right - left + 1)) + left],
i = left,
j = right
// 开始调整
while(i <= j) {
// 左指针右移
while(arr[i] < datum) {
i++
}
// 右指针左移
while(arr[j] > datum) {
j--
}
// 交换
if(i <= j) {
swap(arr, i, j)
i += 1
j -= 1
}
}
return i
}
// 交换
let swap = (arr, i , j) => {
let temp = arr[i]
arr[i] = arr[j]
arr[j] = temp
}
// 测试
let arr = [1, 3, 2, 5, 4]
quickSort(arr)
console.log(arr) // [1, 2, 3, 4, 5]
// 第 2 个最大值
console.log(arr[arr.length - 2]) // 4
快排是从小到大排序，所以第 k 个最大值在 n-k 位置上
复杂度分析
- 时间复杂度：O(nlogn)
- 空间复杂度：O(nlogn)
快速选择（quickselect）算法
上面我们实现了快速排序来取第 k 个最大值，其实没必要那么麻烦，
我们仅仅需要在每执行一次快排的时候，比较基准值位置是否在 n-k 位置上，
- 如果小于
n-k，则第 k 个最大值在基准值的右边，我们只需递归快排基准值右边的子序列即可； - 如果大于
n-k，则第 k 个最大值在基准值的做边，我们只需递归快排基准值左边的子序列即可； - 如果等于
n-k，则第 k 个最大值就是基准值
代码实现：
let findKthLargest = function(nums, k) {
return quickSelect(nums, nums.length - k)
};
let quickSelect = (arr, k) => {
return quick(arr, 0 , arr.length - 1, k)
}
let quick = (arr, left, right, k) => {
let index
if(left < right) {
// 划分数组
index = partition(arr, left, right)
// Top k
if(k === index) {
return arr[index]
} else if(k < index) {
// Top k 在左边
return quick(arr, left, index-1, k)
} else {
// Top k 在右边
return quick(arr, index+1, right, k)
}
}
return arr[left]
}
let partition = (arr, left, right) => {
// 取中间项为基准
var datum = arr[Math.floor(Math.random() * (right - left + 1)) + left],
i = left,
j = right
// 开始调整
while(i < j) {
// 左指针右移
while(arr[i] < datum) {
i++
}
// 右指针左移
while(arr[j] > datum) {
j--
}
// 交换
if(i < j) swap(arr, i, j)
// 当数组中存在重复数据时，即都为datum，但位置不同
// 继续递增i，防止死循环
if(arr[i] === arr[j] && i !== j) {
i++
}
}
return i
}
// 交换
let swap = (arr, i , j) => {
let temp = arr[i]
arr[i] = arr[j]
arr[j] = temp
}
复杂度分析：
- 时间复杂度：平均时间复杂度O(n)，最坏情况时间复杂度为O(n2)
- 空间复杂度：O(1)
六、解法：继续优化，中位数的中位数（BFPRT）算法
又称为中位数的中位数算法，它的最坏时间复杂度为 O(n) ，它是由Blum、Floyd、Pratt、Rivest、Tarjan提出。该算法的思想是修改快速选择算法的主元选取方法，提高算法在最坏情况下的时间复杂度。
在BFPTR算法中，仅仅是改变了快速选择（quickselect）算法中 Partion 中的基准值的选取，在快速选择（quickselect）算法中，我们可以选择第一个元素或者最后一个元素作为基准元，优化的可以选择随机一个元素作为基准元，而在 BFPTR 算法中，每次选择五分中位数的中位数作为基准元（也称为主元pivot），这样做的目的就是使得划分比较合理，从而避免了最坏情况的发生。
BFPRT 算法步骤如下：
- 选取主元
- 将 n 个元素按顺序分为
n/5个组，每组 5 个元素，若有剩余，舍去 - 对于这
n/5个组中的每一组使用插入排序找到它们各自的中位数 - 对于上一步中找到的所有中位数，调用 BFPRT 算法求出它们的中位数，作为主元；
- 将 n 个元素按顺序分为
- 以主元为分界点，把小于主元的放在左边，大于主元的放在右边；
- 判断主元的位置与 k 的大小，有选择的对左边或右边递归
代码实现：
let findKthLargest = function(nums, k) {
return nums[bfprt(nums, 0, nums.length - 1, nums.length - k)]
}
let bfprt = (arr, left , right, k) => {
let index
if(left < right) {
// 划分数组
index = partition(arr, left, right)
// Top k
if(k === index) {
return index
} else if(k < index) {
// Top k 在左边
return bfprt(arr, left, index-1, k)
} else {
// Top k 在右边
return bfprt(arr, index+1, right, k)
}
}
return left
}
let partition = (arr, left, right) => {
// 基准
var datum = arr[findMid(arr, left, right)],
i = left,
j = right
// 开始调整
while(i < j) {
// 左指针右移
while(arr[i] < datum) {
i++
}
// 右指针左移
while(arr[j] > datum) {
j--
}
// 交换
if(i < j) swap(arr, i, j)
// 当数组中存在重复数据时，即都为datum，但位置不同
// 继续递增i，防止死循环
if(arr[i] === arr[j] && i !== j) {
i++
}
}
return i
}
/**
* 数组 arr[left, right] 每五个元素作为一组，并计算每组的中位数，
* 最后返回这些中位数的中位数下标（即主元下标）。
*
* @attention 末尾返回语句最后一个参数多加一个 1 的作用其实就是向上取整的意思，
* 这样可以始终保持 k 大于 0。
*/
let findMid = (arr, left, right) => {
if (right - left < 5)
return insertSort(arr, left, right);
let n = left - 1;
// 每五个作为一组，求出中位数，并把这些中位数全部依次移动到数组左边
for (let i = left; i + 4 <= right; i += 5)
{
let index = insertSort(arr, i, i + 4);
swap(arr[++n], arr[index]);
}
// 利用 bfprt 得到这些中位数的中位数下标（即主元下标）
return findMid(arr, left, n);
}
/**
* 对数组 arr[left, right] 进行插入排序，并返回 [left, right]
* 的中位数。
*/
let insertSort = (arr, left, right) => {
let temp, j
for (let i = left + 1; i <= right; i++) {
temp = arr[i];
j = i - 1;
while (j >= left && arr[j] > temp)
{
arr[j + 1] = arr[j];
j--;
}
arr[j + 1] = temp;
}
return ((right - left) >> 1) + left;
}
// 交换
let swap = (arr, i , j) => {
let temp = arr[i]
arr[i] = arr[j]
arr[j] = temp
}
复杂度分析：
为什么是5？
在BFPRT算法中，为什么是选5个作为分组？
首先，偶数排除，因为对于奇数来说，中位数更容易计算。
如果选用3，有
n 。
如果选取7，9或者更大，在插入排序时耗时增加，常数 c 会很大，有些得不偿失。
七、回顾与总结
最后，我们总结一下，求topk问题其实并不难，主要有以下几个思路：
- 整体排序：O(nlogn)
- 局部排序：只冒泡排序前k个最大值，O(n*k)
- 利用堆：O(nlogk)
- 计数或桶排序：计数排序用于前k个最值，时间复杂度为O(n + m)，其中 m 表示数据范围；桶排序用于最高频k个，时间复杂度为O(n)； 但这两者都要求输入数据必须是有确定范围的整数 ，本文没有做过多介绍，可前往 github.com/sisterAn/Ja… 查看堆系列获取更多信息
- 优化：快速选择（quickselect）算法：平均O(n)，最坏O(n2)
- 继续优化：中位数的中位数（bfprt）算法：最坏O(n)
这里简单说一下后两种方案：
-
首先，需要知道什么是快排，快排的过程简单的说只有三步：首先从序列中选取一个数作为基准数；将比这个数大的数全部放到它的右边，把小于或者等于它的数全部放到它的左边 （一次快排
partition）；然后分别对基准的左右两边重复以上的操作，直到数组完全排序 -
快速选择（quickselect）算法：快排会把所有的数据进行排序，而我们仅仅想要的是第 k 个最大值，所以
quickselect对快排进行来优化：在每执行一次快排（partition）的时候，比较基准值位置是否在n-k（第k大=第n-k小，n为数组长度）位置上，如果小于n-k，则第 k 个最大值在基准值的右边，我们只需递归快排基准值右边的子序列即可；如果大于n-k，则第 k 个最大值在基准值的做边，我们只需递归快排基准值左边的子序列即可；如果等于n-k，则第 k 个最大值就是基准值，平均时间复杂度O(n)，最坏情况时间复杂度为O(n2)，在最坏情况下，时间复杂度还是很高的 -
中位数的中位数（bfprt）算法：该算法的思想是修改快速选择（
quickselect）算法的主元选取方法，提高算法在最坏情况下的时间复杂度
最后，附上Top K问题经典练习题，解题内容太多，前往git仓库查看解答
-
腾讯&字节等：最小的k个数：
-
leetcode347：前 K 个高频元素：
-
字节&leetcode215：数组中的第K个最大元素：
往期精彩
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