向量基础知识及常用公式

崔火火火火

2020-07-03 1,398 阅读2分钟

一、向量加法

记 $\vec{a} = \overrightarrow {AB}$ ， $\vec{b} = \overrightarrow {BC}$ ，则

\vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}

记 $\vec{a}$ = (x, y), $\vec{b}$ = (x', y')，则

\vec{a} + \vec{b} = (x + x', y + y')

其几何意义是：向量的平移。

二、向量减法

记 $\vec{a} = \overrightarrow {AB}$ ， $\vec{b} = \overrightarrow {AC}$ ，则

\vec{a} - \vec{b} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB}

记 $\vec{a}$ = (x, y), $\vec{b}$ = (x', y')，则

\vec{a} - \vec{b} = (x - x', y - y')

其几何意义和加法一致，也是向量的平移，可以看做 $\vec{a}$ + ( $-\vec{b}$ )， $-\vec{b}$ 为 $\vec{b}$ 的反方向。

三、向量数乘

实数λ和向量 $\vec{a}$ 的乘积，为向量λ $\vec{a}$ 。且

|λ\vec{a}| = |λ|·|\vec{a}|

λ > 0， $λ\vec{a}$ 与 $\vec{a}$ 同方向；
λ < 0， $λ\vec{a}$ 和 $\vec{a}$ 反方向；
λ = 0， $λ\vec{a}= 0$ 方向任意。
|λ| > 1，表示 $\vec{a}$ 伸长 |λ| 倍；
|λ| < 1，表示 $\vec{a}$ 压缩 |λ| 倍。

3.1 向量平行

若 $\vec{a}$ 平行于 $\vec{b}$ ，则

\vec{a} = λ\vec{b}

四、向量的数量积（点积、内积）

两个非零向量的夹角记为 $〈\vec{a}, \vec{b}〉$ ,且 $〈\vec{a}, \vec{b}〉$ ∈[0,π].

两个非零向量的数量积是一个数量(标量)，记作 $\vec{a}·\vec{b}$ ：

\vec{a}·\vec{b}=|\vec{a}|·|\vec{b}|·cos⟨\vec{a},\vec{b}⟩

坐标运算表示为

\vec{a}·\vec{b}=x·x^′+y·y^′

其几何意义为：

表征或计算两个向量之间的夹角，以及在向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 方向上的投影；
判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系。

4.1 两个向量的方向关系

$\vec{a}·\vec{b}$ > 0 方向基本相同，夹角在 0° 到 90° 之间；
$\vec{a}·\vec{b}$ = 0 正交，相互垂直 ；
$\vec{a}·\vec{b}$ < 0 方向基本相反，夹角在 90° 到 180° 之间。

4.2 向量的夹角

夹角计算公式

\cos \alpha
= { \vec{a} \cdot \vec{b} \over{|\vec{a}| |\vec{b}| } }
= { x_1x_2 + y_1y_2 \over \sqrt{{x_1}^2 + {y_1}^2} \sqrt{{x_2}^2 + {y_2}^2}}

4.3 向量的投影

投影计算公式

|\vec{a}| \cos \alpha
= { \vec{a} \cdot \vec{b} \over{|\vec{b}| } }

|\vec{b}| \cos \alpha
= { \vec{a} \cdot \vec{b} \over{|\vec{a}| } }

几何表示为：

五、向量模

\left | \vec{a} \right | = \sqrt{x^2+y^2}

几何意义为：向量的长度。

六、向量的标准化

对于单位向量 $\vec{v}$ :

\vec{v} = ({x \over{|\vec{a} |}}, {y \over{|\vec{a} |}})

几何意义：当只关心方向，而不关心大小时用。

七、向量的向量积（叉积、外积）

两个非零向量的向量积为一个向量，而不是一个标量。

7.1 二维几何

|\vec{a} × \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\alpha

其几何意义是： $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 组成的平行四边形的面积。

7.2 三维几何

两个向量的向量积与这两个向量组成的平面垂直，是该平面的法向量。

对于向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$

\vec{a} = (x1, y1, z1) \\

\vec{b} = (x2, y2, z2)

则

\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k} \\
x_1& y_1& z_1 \\
x_2& y_2& z_2 \\
\end{vmatrix} =
y_1z_2\mathbf{i} + z_1x_2\mathbf{j} + x_1y_2\mathbf{k} - y_1x_2\mathbf{k} - x_1z_2\mathbf{j} -
z_1y_2\mathbf{i}

其中

\mathbf{i} = (1, 0, 0) \\

\mathbf{j} = (0, 1, 0) \\

\mathbf{k} = (0, 0, 1)

所以

\vec{a} × \vec{b} = (y_1z_2 - y_2z_1, -(x_1z_2 + x_2z_1), x_1y_2 - x_2y_1)

几何表示为：

图形表示

其方向是

右手系

TODO

点到直线的距离
点到平面的距离

参考及图片来源