leetcode312-戳气球

题目描述

有 n 个气球，编号为0 到 n-1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。

现在要求你戳破所有的气球。每当你戳破一个气球 i 时，你可以获得 nums[left] * nums[i] * nums[right] 个硬币。 这里的 left 和 right 代表和 i 相邻的两个气球的序号。注意当你戳破了气球 i 后，气球 left 和气球 right 就变成了相邻的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

说明:

你可以假设 nums[-1] = nums[n] = 1，但注意它们不是真实存在的所以并不能被戳破。 0 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ nums[i] ≤ 100

思考

我们先给数组的两边各加上一位数1， 因为如题目所说，-1 和 n上的值并不存在，假设为1。那么我们目前的问题就是在 开区间(0, n+1)之间按照一定顺序戳气球，以得到最大的硬币数量。

这道题说要我们找到可以获得的最大硬币数量，注意，是最大。那么怎么才能够算是最大呢？肯定是列举出了所有的结果之后，从中选取最大的那个值。（因为没有什么规律可言，并没有一个存在的数学公式说我们先戳这个，再戳那个， 然后就可以怎么怎么得到最大。这种无规律的情况我们只能穷举所有结果来获取我们想要的最大值）。

直接穷举的复杂度是多少？n!，肯定是不行的。

假设icons(i,j)表示i-j之间的最大硬币数量。 我们先来想一个问题，我们要周到区间(0, n+1)的最大值，我们在k的位置戳气球，那么可以得到的硬币就是

icons(0, k) + value(k-1)*value(k)*value(k+1) + icons(k, n+1)

。 我们如果要找出一个最佳的k值使得到的硬币数量最多， 那就是

max(icons(0, k) + value(0)*value(k)*value(n+1) + icons(k, n+1)) ( 0 < k < n + 1)

。这是一个明显的dp方程。如果我们用dp[i][j]表示i-j的最大硬币数量，那么dp方程为:

dp[i][j] = max(dp[i][k] + value[i]*value[k]*value[j] + dp[k][j])      (0 < k < n+1)

代码如下

var maxCoins = function(nums) {
   nums = [1, ...nums, 1];

   let length = nums.length;

    let dp = new Array(length);

    for (let i = 0;i < length; i++) {
        dp[i] = new Array(length);
        dp[i].fill(-1, 0, length);
    }

    function searchMaxPoint(i, j) {
        if (dp[i][j] != -1) {
            return dp[i][j];
        }
                    
        let maxValue = 0;

        for (let k = i + 1; k < j; k++) {
            let maxL = searchMaxPoint(i, k);
            let maxR = searchMaxPoint(k, j);
            let tempMaxValue = maxL + maxR + nums[i]*nums[k]*nums[j];
            // dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], tempMaxValue);
            maxValue = Math.max(maxValue, tempMaxValue);
        }

        dp[i][j] = maxValue;

        return dp[i][j];
    }

    searchMaxPoint(0, length - 1);
    return dp[0][length - 1];
};