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今天这篇是机器学习专题的第24篇文章，我们来聊聊回归树模型。
所谓的回归树模型其实就是用树形模型来解决回归问题，树模型当中最经典的自然还是决策树模型，它也是几乎所有树模型的基础。虽然基本结构都是使用决策树，但是根据预测方法的不同也可以分为两种。第一种，树上的叶子节点就对应一个预测值和分类树对应，这一种方法称为回归树。第二种，树上的叶子节点对应一个线性模型，最后的结果由线性模型给出。这一种方法称为模型树。
今天我们先来看看其中的回归树。
回归树模型
回归树模型的核心算法，也就是构建决策树的算法，就是我们上篇文章所讲的CART算法。如果有生疏或者是遗漏的同学，可以通过下方传送门回顾一下：
CART算法的核心精髓就是我们每次选择特征对数据进行拆分的时候，永远对数据集进行二分。无论是离散特征还是连续性特征，一视同仁。CART还有一个特点是使用GINI指数而不是信息增益或者是信息增益比来选择拆分的特征，但是在回归问题当中用不到这个。因为回归问题的损失函数是均方差，而不是交叉熵，很难用熵来衡量连续值的准确度。
在分类树当中，我们一个叶子节点代表一个类别的预测值，这个类别的值是落到这个叶子节点当中训练样本的类别的众数，也就是出现频率最高的类别。在回归树当中，叶子节点对应的自然就是一个连续值。这个连续值是落到这个节点的训练样本的均值，它的误差就是这些样本的均方差。
另外，之前我们在选择特征的划分阈值的时候，对阈值的选择进行了优化，只选择了那些会引起预测类别变化的阈值。但是在回归问题当中，由于预测值是一个浮点数，所以这个优化也不存在了。整体上来说，其实回归树的实现难度比分类树是更低的。
实战
我们首先来加载数据，我们这次使用的是scikit-learn库当中经典的波士顿房价预测的数据。关于房价预测，kaggle当中也有一个类似的比赛，叫做：house-prices-advanced-regression-techniques。不过给出的特征更多，并且存在缺失等情况，需要我们进行大量的特征工程。感兴趣的同学可以自行研究一下。
首先，我们来获取数据，由于sklearn库当中已经有数据了，我们可以直接调用api获取，非常简单：
import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.datasets import load_boston
boston = load_boston()
X, y = boston.data, boston.target
我们输出前几条数据查看一下：
这个数据质量很高，sklearn库已经替我们做完了数据筛选与特征工程，直接拿来用就可以了。为了方便我们传递数据，我们将X和y合并在一起。由于y是一维的数组形式是不能和二维的X合并的，所以我们需要先对y进行reshape之后再进行合并。
y = y.reshape(-1, 1)
X = np.hstack((X, y))
hstack函数可以将两个np的array横向拼接，与之对应的是vstack，是将两个array纵向拼接，这个也是常规操作。合并之后，y作为新的一列添加在了X的后面。数据搞定了，接下来就要轮到实现模型了。
在实现决策树的主体部分之前，我们先来实现两个辅助函数。第一个辅助函数是计算一批样本的方差和，第二个辅助函数是获取样本的均值，也就是子节点的预测值。
def node_mean(X):
return np.mean(X[:, -1])
def node_variance(X):
return np.var(X[:, -1]) * X.shape[0]
这个搞定了之后，我们继续实现根据阈值拆分数据的函数。这个也可以复用之前的代码：
from collections import defaultdict
def split_dataset(X, idx, thred):
split_data = defaultdict(list)
for x in X:
split_data[x[idx] < thred].append(x)
return list(split_data.values()), list(split_data.keys())
接下来是两个很重要的函数，分别是get_thresholds和split_variance。顾名思义，第一个函数用来获取阈值，前面说了由于我们做的是回归模型，所以理论上来说特征的每一个取值都可以作为切分的依据。但是也不排除可能会存在多条数据的特征值相同的情况，所以我们对它进行去重。第二个函数是根据阈值对数据进行拆分，返回拆分之后的方差和。
def get_thresholds(X, i):
return set(X[:, i].tolist())
# 每次迭代方差优化的底线
MINIMUM_IMPROVE = 2.0
# 每个叶子节点最少样本数
MINIMUM_SAMPLES = 10
def split_variance(dataset, idx, threshold):
left, right = [], []
n = dataset.shape[0]
for data in dataset:
if data[idx] < threshold:
left.append(data)
else:
right.append(data)
left, right = np.array(left), np.array(right)
# 预剪枝
# 如果拆分结果有一边过少，则返回None，防止过拟合
if len(left) < MINIMUM_SAMPLES or len(right) < MINIMUM_SAMPLES:
return None
# 拆分之后的方差和等于左子树的方差和加上右子树的方差和
# 因为是方差和而不是均方差，所以可以累加
return node_variance(left) + node_variance(right)
这里我们用到了MINIMUM_SAMPLES这个参数，它是用来预剪枝用的。由于我们是回归模型，如果不对决策树的生长加以限制，那么很有可能得到的决策树的叶子节点和训练样本的数量一样多。这显然就陷入了过拟合了，对于模型的效果是有害无益的。所以我们要限制每个节点的样本数量，这个是一个参数，我们可以根据需要自行调整。
接下来，就是特征和阈值筛选的函数了。我们需要开发一个函数来遍历所有可以拆分的特征和阈值，对数据进行拆分，从所有特征当中找到最佳的拆分可能。
def choose_feature_to_split(dataset):
n = len(dataset[0])-1
m = len(dataset)
# 记录最佳方差,特征和阈值
var_ = node_variance(dataset)
bestVar = float('inf')
feature = -1
thred = None
for i in range(n):
threds = get_thresholds(dataset, i)
for t in threds:
# 遍历所有的阈值，计算每个阈值的variance
v = split_variance(dataset, i, t)
# 如果v等于None，说明拆分过拟合了，跳过
if v is None:
continue
if v < bestVar:
bestVar, feature, thred = v, i, t
# 如果最好的拆分效果达不到要求，那么就不拆分，控制子树的数量
if var_ - bestVar < MINIMUM_IMPROVE:
return None, None
return feature, thred
和上面一样，这个函数当中也用到了一个预剪枝的参数MINIMUM_IMPROVE，它衡量的是每一次生成子树带来的收益。当某一次生成子树带来的收益小于某个值的时候，说明收益很小，并不划算，所以我们就放弃这次子树的生成。这也是预剪枝的一种。
这些都搞定了之后，就可以来建树了。建树的过程和之前类似，只是我们这一次的数据当中没有特征的name，所以我们去掉特征名称的相关逻辑。
def create_decision_tree(dataset):
dataset = np.array(dataset)
# 如果当前数量小于10，那么就不再继续划分了
if dataset.shape[0] < MINIMUM_SAMPLES:
return node_mean(dataset)
# 记录最佳拆分的特征和阈值
fidx, th = choose_feature_to_split(dataset)
if fidx is None:
return th
node = {}
node['feature'] = fidx
node['threshold'] = th
# 递归建树
split_data, vals = split_dataset(dataset, fidx, th)
for data, val in zip(split_data, vals):
node[val] = create_decision_tree(data)
return node
我们来完整测试一下建树，首先我们需要对原始数据进行拆分。将原始数据拆分成训练数据和测试数据，由于我们的场景比较简单，就不设置验证数据了。
拆分数据不用我们自己实现，sklearn当中提供了相应的工具，我们直接调用即可：
from sklearn.model_selection import train_test_split
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=23)
我们一般用到的参数就两个，一个是test_size，它可以是一个整数也可以是一个浮点数。如果是整数，代表的是测试集的样本数量。如果是一个0-1.0的浮点数，则代表测试集的占比。random_state是生成随机数的时候用到的随机种子。
我们输出一下生成的树，由于数据量比较大，可以看到一颗庞大的树结构。建树的部分实现了之后，最后剩下的就是预测的部分了。
预测部分的代码和之前分类树相差不大，整体的逻辑完全一样，只是去掉了feature_names的相关逻辑。
def classify(node, data):
key = node['feature']
pred = None
thred = node['threshold']
if isinstance(node[data[key] < thred], dict):
pred = classify(node[data[key] < thred], data)
else:
pred = node[data[key] < thred]
# 放置pred为空，挑选一个叶子节点作为替补
if pred is None:
for key in node:
if not isinstance(node[key], dict):
pred = node[key]
break
return pred
由于这个函数一次只能接受一条数据，如果我们想要批量预测的话还不行，所以最好的话再实现一个批量预测的predict函数比较好。
def predict(node, X):
y_pred = []
for x in X:
y = classify(node, x)
y_pred.append(y)
return np.array(y_pred)
后剪枝
后剪枝的英文原文是post-prune，但是翻译成事后剪枝也有点奇怪。anyway，我们就用后剪枝这个词好了。
在回归树当中，我们利用的思想非常朴素，在建树的时候建立一棵尽量复杂庞大的树。然后在通过测试集对这棵树进行修剪，修剪的逻辑也非常简单，我们判断一棵子树存在分叉和没有分叉单独成为叶子节点时的误差，如果修剪之后误差更小，那么我们就减去这棵子树。
整个剪枝的过程和建树的过程一样，从上到下，递归执行。
整个逻辑很好理解，我们直接来看代码：
def is_dict(node):
return isinstance(node, dict)
def prune(node, testData):
testData = np.array(testData)
if testData.shape[0] == 0:
return node
# 拆分数据
split_data, _ = split_dataset(testData, node['feature'], node['threshold'])
# 对左右子树递归修剪
if is_dict(node[0]):
node[0] = prune(node[0], split_data[0])
if is_dict(node[1]) and len(split_data) > 1:
node[1] = prune(node[1], split_data[1])
# 如果左右都是叶子节点，那么判断当前子树是否需要修剪
if len(split_data) > 1 and not is_dict(node[0]) and not is_dict(node[1]):
# 计算修剪前的方差和
baseError = np.sum(np.power(np.array(split_data[0])[:, -1] - node[0], 2)) + np.sum(np.power(np.array(split_data[1])[:, -1] - node[1], 2))
# 计算修剪后的方差和
meanVal = (node[0] + node[1]) / 2
mergeError = np.sum(np.power(meanVal - testData[:, -1], 2))
if mergeError < baseError:
return meanVal
else:
return node
return node
最后，我们对修剪之后的效果做一下验证：
从图中可以看到，修剪之前我们在测试数据上的均方差是19.65，而修剪之后降低到了19.48。从数值上来看是有效果的，只是由于我们的训练数据比较少，同时进行了预剪枝，影响了后剪枝的效果。但是对于实际的机器学习工程来说，一个方法只要是有明确效果的，在代价可以承受的范围内，它就是有价值的，千万不能觉得提升不明显，而随便否定一个方法。
这里计算均方差的时候用到了sklearn当中的一个库函数mean_square_error，从名字当中我们也可以看得出来它的用途，它可以对两个Numpy的array计算均方差。
总结
关于回归树模型的相关内容到这里就结束了，我们不仅亲手实现了模型，而且还在真实的数据集上做了实验。如果你是亲手实现的模型的代码，相信你一定会有很多收获。
虽然从实际运用来说我们几乎不会使用树模型来做回归任务，但是回归树模型本身是非常有意义的。因为在它的基础上我们发展出了很多效果更好的模型，比如大名鼎鼎的GBDT。因此理解回归树对于我们后续进阶的学习是非常重要的。在深度学习普及之前，其实大多数高效果的模型都是以树模型为基础的，比如随机森林、GBDT、Adaboost等等。可以说树模型撑起了机器学习的半个时代，这么说相信大家应该都能理解它的重要性了吧。
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