最短路径算法：Bellman-ford算法

最短路径问题

在图结构中，求解最短路径问题有多种算法，Bellman-Ford是其中之一，它可以处理含有负权边的情况，同样是单源最短路径算法，而之前讲到的Dijkstra算法不能处理含有负权边的情况。对应的代价就是其算法时间复杂度要高一些。后面我们会分析。

这里能处理负权边是针对有向图的，因为对无向图来说，含有负权边就意味着含有负权回路，在有负权回路的这种情况下求最短路径是无解的，因为每经过一次负权回路，距离都会减少，就会无限循环下去。

在继续往下讲之前，先补充一个图最短路径的一个性质：最短路径的子路径也是最短路径，数学描述如下：有向图 $G=(V,E)$ ，设 $p=(v_0,v_1,...,v_k)$ 为从点 $v_0$ 到点 $v_k$ 的一条最短路径，且 $0≤i≤j≤k$ ，设 $p_{ij}=(v_i,v_{i+1},...,v_j)$ 为路径 $p$ 中从点 $v_i$ 到点 $v_j$ 的子路径，那么 $p_{ij}$ 也是这两点之间的一条最短路径。可用反证法来证明：

证明：如果将路径 $p$ 分解为 $v_0-v_i-v_j-vk$ ，则有 $w(p)=w(p_{0i})+w(p_{ij})+w(p_{jk})$ 。假设存在一条从 $v_i$ 到 $v_j$ 的一条更短的路径 $p_{ij}'$ ， $w(p_{ij}'<w(p_ij))$ 。则新路径权值为 $w(p_{0i})+w(p_{ij}')+w(p_{jk}) < w(p)$ ，这与 $p$ 是最短路径相矛盾。

Bellman-Ford算法

与Dijkstra算法类似，Bellman-Ford算法也是通过不断的“松弛”操作来求得最终解。“松弛”就是如下的操作过程： $w(u,v)$ 表示 $u$ 与 $v$ 之间的权值， $d[v]$ 表示从源点 $s$ 到顶点 $v$ 的距离，若存在边 $e(u,v)$ ，使得： $d[v] > d[u] + w(u,v)$ (即发现了优于当前的路径),则更新 $d[v] = d[u] + w(u,v)$ ，并更新路径 $prev[v] = u$ 。可以看到每一次“松弛”都会更逼近最优解。Dijkstra算法通过优先队列每次选择当前未被处理过的距离最小的顶点，对该顶点未被处理过的边进行松弛。而Bellman-Ford算法则简单的松弛所有的边，反复执行 $|V|-1$ 次（ $|V|$ 为顶点的的个数），时间复杂度 $O(|V||E|)$ 。可以看出，Bellman-Ford松弛的次数远多于Dijkstra，所以其时间复杂度相比Dijkstra要高。

伪代码如下：

function BellmanFord(list vertices, list edges, vertex source)
    // step 1 初始化, dist[v]表示源节点到顶点v的距离值，prev[v]表示顶点v的前驱顶点
    for each vertex v in vertices
        dist[v] = inf
        prev[v] = null

    dist[source] = 0

    // step 2 迭代松弛|V|-1次
    for i from 1 to size(vertices) -1 
        for each edge(u,v) with weight(u,v)  in edges
            if dist[u] + weight(u,v) < dist[v]
                dist[v] = dist[u] + weight(u,v)
                prev[v] = u
    
    // step 3 检查是否有负权回路
    for each edge(u,v) with weight(u,v) in edges
        if dist[u] + weight(u,v) < dist[v]
            error "检测到负权回路"

    return dist[], prev[]

对算法的优化： 在实际应用中，Bellman-Ford算法其实不用迭代松弛 $|V|-1$ 次，理论上图中存在的最大的路径长度为 $|V|-1$ ，实际上往往要小于这个 $|V|-1$ ，即，在 $|V|-1$ 次迭代松弛之前就已经收敛了，计算出最短路径了，所以可在循环中设置判定，在某次循环中不再进行松弛时，表明当前已收敛，可退出步骤2，进行下一步检查是否有负权回路。

怎么理解这个算法呢？ 假设某顶点与源顶点没有连通，即没有边，那么这个点就不会被松弛，距离不会被更新，依旧为无穷大。如果顶点与源顶点是连通的，在不存在负权回路的情况下，一定存在一条最短路径，这条最短路径 $p=(v_0,v_1,...,v_k)$ 为源点 $s$ 到 $v$ 之间的任意一条最短路径(这里 $v_0=s$ ， $v_k=v$ )。最大会有多少条边呢？假设图有 $|V|$ 个顶点，那么有 $k≤|V|-1$ 。在进行第一轮松弛时，被松弛的边中一定会包含边 $(v_0,v_1)$ ，结合文章开头讲到的最短路径的子路径也一定是最短路径的性质， $v_1$ 已经得到了其最短路径，在第二轮松弛过程中，被松弛的边中一定会包含 $边(v_1,v_2)$ ，经过此次松弛后， $v_2$ 也已经得到了其最短路径。以此类推，在第 $k$ 轮松弛中，被松弛的边中一定包含了边 $(v_{k-1},v_k)$ ，之后 $v_k$ 也得到其最短路径。也就是说，凡是与源顶点最短路径经过的边数为 $k$ 的顶点，在第 $k$ 轮松弛时一定会被确认（最短路径被找到）。所以，我们需要松弛多少轮呢，最多 $|V|-1$ 次就可以了。