数据结构与算法(18)- 平衡二叉树

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一.平衡二叉树

二叉排序树查找算法的性能取决于二叉树的结构,而二叉排序树的形状则取决于其数据集。

  • 如果数据呈有序排列,则二叉排序树是线性的,查找的时间复杂度为O(n);
  • 如果二叉排序树的结构合理,则查找速度较快,查找的时间复杂度为O(logn)

事实上,树的高度越小,查找速度越快。因此,希望二叉树的高度尽可能小。因此出现了平衡二叉树

若将二叉树上结点的平衡因子(Balance Factor)定义为该结点左子树和右子树的深度之差,则平衡二叉树上所有结点的平衡因子只可能是-101。只要二叉树上有一个节点的平衡因子的绝对值大于1,则该二叉树就是不平衡的。

二.实现思路

1.大概思路

插入结点时,首先按照二叉排序树处理,若插入结点后破坏了平衡二叉树的特性,需对平衡二叉树进行调整。调整方法是:找到离插入结点最近且平衡因子绝对值超过1的祖先结点,以该结点为根的子树称为最小不平衡子树,可将重新平衡的范围局限于这棵子树。

2.具体步骤

若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点,则插入一个数据元素为e的新结点,并返回1,否则返回0。若因插入而使二叉排序树失去平衡,则作平衡旋转处理,布尔变量taller反映T长高与否。

  1. 如果T为空时,则创建一个新结点;
  2. 如果T不为空,判断是否存在相同的结点.如果二叉树中存在相同结点,则不需要插入;
  3. 如果新结点值e小于T的根结点值,则在T的左子树查找;
  • 如果能在左子树中查找到,则不插入进去.返回False; 如果没有找到,则插入
  • 插入成功taller为TRUE,说明新结点e已经插入进去; 此时需要判断T的平衡因子;
  • 如果平衡因子是1,则说明左子树高于右子树,那么需要调用leftBalance进行左平衡旋转处理;
  • 如果为0或者-1,则说明新插入的结点没有让整颗二叉排序树失去平衡性,只需要修改BF值即可;
  1. 如果新结点值e大于T的根结点值,则在T的右子树查找;
  • 如果能在右子树中查找到,则不插入进去.返回False; 如果没有找到,则插入
  • 插入成功taller为TRUE,说明新结点e已经插入进去; 此时需要判断T的平衡因子;
  • 如果平衡因子是-1,则说明右子树高于左子树,那么需要调用RightBalance进行右平衡旋转处理;
  • 如果为0或者1,则说明新插入的结点没有让整颗二叉排序树失去平衡性,只需要修改BF值即可;

三.代码实现

1.基本设置

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100
typedef int Status;
//二叉树的二叉链表结点结构定义
//结点结构
typedef struct BiTNode{
    //结点数据
    int data;
    //结点的平衡因子
    int bf;
    //结点左右孩子指针
    struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BiTNode,*BiTree;

2.核心实现

//1.右旋
/*
 对以p为根的二叉排序树作右旋处理;
 处理之后p指向新的树根结点,即旋转处理之前的左子树的根结点;
 */
void R_Rotate(BiTree *p){
    BiTree L;
    //① L是p的左子树;
    L = (*p)->lchild;
    //② L的右子树作为p的左子树
    (*p)->lchild =  L->rchild;
    //③ 将p作为L的右子树
    L->rchild = (*p);
    //④ 将L替换原有p的根结点位置
    *p =  L;
}
/*
 2.左旋
 对以P为根的二叉排序树作左旋处理
 处理之后P指向新的树根结点,即旋转处理之前的右子树的根结点
 */
void L_Rotate(BiTree *p){
    BiTree R;
    //① R是p的右子树
    R = (*p)->rchild;
    //② R的左子树作为R的右子树
    (*p)->rchild = R->lchild;
    //③ 将p作为R的左子树;
    R->lchild = (*p);
    //④ 将R替换原有p的根结点的位置
    *p = R;
}
#define LH +1 /*  左高 */
#define EH 0  /*  等高 */
#define RH -1 /*  右高 */
/*
 3. 对指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理,算法结束后,指针T指向平衡处理后新的根结点
 */
void LeftBalance(BiTree *T)
{
    BiTree L,Lr;
    //1.L指向T的左子树根结点
    L=(*T)->lchild;
    //2.检查T的左子树的平衡度,并作相应平衡处理
    switch(L->bf)
    {
        //① 新结点插入在T的左孩子的左子树上,要作单右旋处理(如图1-平衡二叉树右旋解释图)
        case LH:
            //L的平衡因子为LH,即为1时,表示它与根结点BF符合相同,则将它们(T,L)的BF值都改为EH(0)
            (*T)->bf=L->bf=EH;
            //对最小不平衡子树T进行右旋;
            R_Rotate(T);
            break;
        //② LH的平衡因子为RH(-1)时,它与跟结点的BF值符合相反.此时需要做双旋处理(2次旋转处理)
        //   新结点插入在T的左孩子的右子树上,要作 双旋处理
        case RH:
            //Lr指向T的左孩子的右子树根
            Lr=L->rchild;
            //修改T及其左孩子的平衡因子
            switch(Lr->bf)
            {
                case LH:
                    (*T)->bf=RH;
                    L->bf=EH;
                    break;
                case EH:
                    (*T)->bf=L->bf=EH;
                    break;
                case RH:
                    (*T)->bf=EH;
                    L->bf=LH;
                    break;
             }
            Lr->bf=EH;
            //对T的左子树作左旋平衡处理
            L_Rotate(&(*T)->lchild);
            //对T作右旋平衡处理
            R_Rotate(T);
    }
}
/*
 4. 右平衡树失衡处理
 对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理
 本算法结束时,指针T指向新的根结点
 */
void RightBalance(BiTree *T)
{
    BiTree R,Rl;
    //1.R指向T的右子树根结点
    R=(*T)->rchild;
    //2. 检查T的右子树的平衡度,并作相应平衡处理
    switch(R->bf){
        //① 新结点插入在T的右孩子的右子树上,要作单左旋处理
        case RH:
            (*T)->bf = R->bf = EH;
            L_Rotate(T);
            break;
        //新结点插入在T的右孩子的左子树上,要作双旋处理
        case LH:
            //Rl指向T的右孩子的左子树根
            Rl=R->lchild;
            //修改T及其右孩子的平衡因子
            switch(Rl->bf)
            {
                case RH:
                    (*T)->bf = LH;
                    R->bf = EH;
                    break;
                case EH:
                    (*T)->bf = R->bf = EH;
                    break;
                case LH:
                    (*T)->bf = EH;
                    R->bf = RH;
                    break;
            }
            Rl->bf = EH;
            //对T的右子树作右旋平衡处理
            R_Rotate(&(*T)->rchild);
            //对T作左旋平衡处理
            L_Rotate(T);
    }
}
/*
 5. 平衡二叉树的插入实现
 */
Status InsertAVL(BiTree *T,int e,Status *taller)
{
    if(!*T){
        //1.插入新结点,树“长高”,置taller为TRUE
        //① 开辟一个新结点T;
        *T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        //② 对新结点T的data赋值,并且让其左右孩子指向为空,T的BF值为EH;
        (*T)->data=e;
        (*T)->lchild=(*T)->rchild=NULL;
        (*T)->bf=EH;
        //③ 新结点默认"长高"
        *taller=TRUE;
    }else{
        if (e==(*T)->data){
            //2.树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入
            *taller=FALSE;
            return FALSE;
        }
        if (e < (*T)->data){
           //3.应继续在T的左子树中进行搜索
            if(!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller)){
                //未插入
                return FALSE;
            }
            //4.已插入到T的左子树中且左子树“长高”
            if(*taller){
                //5.检查T的平衡度
                switch((*T)->bf)
                {
                    case LH:
                        //原本左子树比右子树高,需要作左平衡处理
                        LeftBalance(T);
                        *taller=FALSE;
                        break;
                    case EH:
                        //原本左、右子树等高,现因左子树增高而使树增高
                        (*T)->bf=LH;
                        *taller=TRUE;
                        break;
                    case RH:
                        //原本右子树比左子树高,现左、右子树等高
                        (*T)->bf=EH;
                        *taller=FALSE;
                        break;
                }
            }
        }else{
            //6.应继续在T的右子树中进行搜索
            //未插入
            if(!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller)){
                return FALSE;
            }
            //已插入到T的右子树且右子树“长高”
            if(*taller){
                // 检查T的平衡度
                switch((*T)->bf)
                {
                    //原本左子树比右子树高,现左、右子树等高
                    case LH:
                        (*T)->bf=EH;
                        *taller=FALSE;
                        break;
                    //原本左、右子树等高,现因右子树增高而使树增高
                    case EH:
                        (*T)->bf=RH;
                        *taller=TRUE;
                        break;
                    // 原本右子树比左子树高,需要作右平衡处理
                    case RH:
                        RightBalance(T);
                        *taller=FALSE;
                        break;
                }
            }
        }
    }
    return TRUE;
}
/*6.二叉排序树查找*/
Status SearchBST(BiTree T,int key,BiTree f, BiTree *p){
    if (!T){    /*  查找不成功 */
        *p = f;
        return FALSE;
    }else if (key==T->data){ /*  查找成功 */
        *p = T;
        return TRUE;
    }else if (key<T->data){
        return SearchBST(T->lchild, key, T, p);  /*  在左子树中继续查找 */
    }else{
        return SearchBST(T->rchild, key, T, p);  /*  在右子树中继续查找 */
    }
}

4.调用

int main(int argc, const char * argv[]) {
    // insert code here...
    printf("平衡二叉树 !\n");
    int i;
    int a[10]={3,2,1,4,5,6,7,10,9,8};
    BiTree T=NULL;
    Status taller;
    int sum = 0;
    for(i=0;i<10;i++)
    {
        InsertAVL(&T,a[i],&taller);
        sum += taller;
        printf("插入%d,是否增加树的高度(%d)[YES->1 / NO->0]\n",a[i],taller);
    }
    printf("将数组a插入到平衡二叉树后,最终形成高度为%d的平衡二叉树\n",sum);
    BiTree p;
    int statusValue = SearchBST(T, 10, NULL, &p);
    printf("查找%d是否成功:%d (1->YES/0->NO)\n",p->data,statusValue);
    return 0;
}

5.最终结构

    /* 最终平衡二叉树为
           4
         /   \
       2       7
      / \     / \
     1   3   6   9
            /   / \
           5   8   10
     */
    
平衡二叉树 !
插入3,是否增加树的高度(1)[YES->1 / NO->0]
插入2,是否增加树的高度(1)[YES->1 / NO->0]
插入1,是否增加树的高度(0)[YES->1 / NO->0]
插入4,是否增加树的高度(1)[YES->1 / NO->0]
插入5,是否增加树的高度(0)[YES->1 / NO->0]
插入6,是否增加树的高度(0)[YES->1 / NO->0]
插入7,是否增加树的高度(0)[YES->1 / NO->0]
插入10,是否增加树的高度(1)[YES->1 / NO->0]
插入9,是否增加树的高度(0)[YES->1 / NO->0]
插入8,是否增加树的高度(0)[YES->1 / NO->0]
将数组a插入到平衡二叉树后,最终形成高度为4的平衡二叉树
查找10是否成功:1 (1->YES/0->NO)