数据结构和算法（12）- 图的存储

一. 图

图是一种比线性表和树更为复杂的数据结构。

• 在线性表中，数据元素之间仅有线性关系，每个数据元素只有一个前驱和后继；
• 在树形结构中，数据元素之间有着明显的层次关系，并且每一层中的数据元素可能和下一层中的多个元素相关，但只能和上一层中一个元素（即双亲结点）相关；
• 在图结构中，顶点之间的关系可以是任意的，图中任意两个数据元素之间都可能相关。

因此，无法以数据元素在存储区中的物理位置来表示元素之间的关系，即没有顺序存储结构，但是可以借助二维数组来表示元素之间的关系，即邻接矩阵表示法。由于图的任意两个顶点间都可能存在关系，因此可以用链式存储表示图，如邻接表。

二. 邻接矩阵表示法

1. 代码实现

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXVEX 100 /* 最大顶点数，应由用户定义 */
#define INFINITYC 0

typedef int Status;    /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef char VertexType; /* 顶点类型应由用户定义  */
typedef int EdgeType; /* 边上的权值类型应由用户定义 */
typedef struct
{
    VertexType vexs[MAXVEX]; /* 顶点表 */
    EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];/* 邻接矩阵，可看作边表 */
    int numNodes, numEdges; /* 图中当前的顶点数和边数  */
}MGraph;
void CreateMGraph(MGraph *G){
    int i,j,k,w;
    printf("输入顶点数和边数:\n");
    //1. 输入顶点数/边数
    scanf("%d,%d",&G->numNodes,&G->numEdges);
    printf("顶点数:%d,边数:%d\n",G->numNodes,G->numEdges);
    //2.输入顶点信息/顶点表
    for(i = 0; i<= G->numNodes;i++)
        scanf("%c",&G->vexs[i]);
    //3.初始化邻接矩阵
    for(i = 0; i < G->numNodes;i++)
         for(j = 0; j < G->numNodes;j++)
             G->arc[i][j] = INFINITYC;
    //4.输入边表信息
    for(k = 0; k < G->numEdges;k++){
        printf("输入边(vi,vj)上的下标i,下标j,权w\n");
        scanf("%d,%d,%d",&i,&j,&w);
        G->arc[i][j] = w;
        //如果无向图,矩阵对称;
        G->arc[j][i] = G->arc[i][j];
    }
    /*5.打印邻接矩阵*/
    for (int i = 0; i < G->numNodes; i++) {
        printf("\n");
        for (int j = 0; j < G->numNodes; j++) {
            printf("%d ",G->arc[i][j]);
        }
    }
    printf("\n");
}
int main(void)
{
    printf("邻接矩阵实现图的存储\n");
    /*图的存储-邻接矩阵*/
    MGraph G;
    CreateMGraph(&G);
    return 0;
}

2. 优缺点

1. 优点

• 便于判断两个顶点之间是否有边，根据arc[j][i] = 0 或 1 来判断
• 便于计算各个顶点的度。对于无向图，邻接矩阵第i行元素之和就是顶点i的度，对于有向图，第i行元素之和就是顶点i的出度，第i列元素之和就是顶点i的人度。

2. 缺点

• 不便于增加和删除顶点
• 不便于统计边的数目，需要扫描邻接矩阵所有元素才能统计完毕，时间复杂度为O(n^2)。

三. 邻接表表示法

1.代码实现

#define M 100
#define true 1
#define false 0

typedef char Element;
typedef int BOOL;
//邻接表的节点
typedef struct Node{
    int adj_vex_index;  //弧头的下标，也就是被指向的下标
    Element data;       //权重值
    struct Node * next; //边指针
}EdgeNode;

//顶点节点表
typedef struct vNode{
    Element data;          //顶点的权值
    EdgeNode * firstedge;  //顶点下一个是谁？
}VertexNode, Adjlist[M];

//总图的一些信息
typedef struct Graph{
    Adjlist adjlist;       //顶点表
    int arc_num;           //边的个数
    int node_num;          //节点个数
    BOOL is_directed;      //是不是有向图
}Graph, *GraphLink;

void creatGraph(GraphLink *g){
    int i,j,k;
    EdgeNode *p;
    
    //1. 顶点,边,是否有向
    printf("输入顶点数目,边数和有向？：\n");
    scanf("%d %d %d", &(*g)->node_num, &(*g)->arc_num, &(*g)->is_directed);
    
    //2.顶点表
     printf("输入顶点信息：\n");
    for (i = 0; i < (*g)->node_num; i++) {
        getchar();
        scanf("%c", &(*g)->adjlist[i].data);
        (*g)->adjlist[i].firstedge = NULL;
    }
    
    //3.
    printf("输入边信息：\n");
    for (k = 0; k < (*g)->arc_num; k++){
        getchar();
        scanf("%d %d", &i, &j);
        
        //①新建一个节点
        p = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
        //②弧头的下标
        p->adj_vex_index = j;
        //③头插法插进去，插的时候要找到弧尾，那就是顶点数组的下标i
        p->next = (*g)->adjlist[i].firstedge;
        //④将顶点数组[i].firstedge 设置为p
        (*g)->adjlist[i].firstedge = p;
        
        //j->i
        if(!(*g)->is_directed)
        {
            // j -----> i
            //①新建一个节点
            p = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
            //②弧头的下标i
            p->adj_vex_index = i;
            //③头插法插进去，插的时候要找到弧尾，那就是顶点数组的下标i
            p->next = (*g)->adjlist[j].firstedge;
            //④将顶点数组[i].firstedge 设置为p
            (*g)->adjlist[j].firstedge = p;
        }
    }
}

void putGraph(GraphLink g){
    int i;
    printf("邻接表中存储信息:\n");
    //遍历一遍顶点坐标，每个再进去走一次
    for (i = 0; i < g->node_num; i++) {
        EdgeNode * p = g->adjlist[i].firstedge;
        while (p) {
            printf("%c->%c ", g->adjlist[i].data, g->adjlist[p->adj_vex_index].data);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    // insert code here...
    printf("邻接表实现图的存储\n");
    /*
     邻接表实现图的存储
     输入顶点数目,边数和有向？：
     4 5 0
     输入顶点信息：
     0 1 2 3
     输入边信息：
     0 1 0 2 0 3 2 1 2 3
     邻接表中存储信息:
     0->3 0->2 0->1
     1->2 1->0
     2->3 2->1 2->0
     3->2 3->0
    */
    /*
     邻接表实现图的存储
     输入顶点数目,边数和有向？：
     4 5 1
     输入顶点信息：
     0 1 2 3
     输入边信息：
     1 0 1 2 2 1 2 0 0 3
     邻接表中存储信息:
     0->3
     1->2 1->0
     2->0 2->1
     */
    GraphLink g = (Graph *)malloc(sizeof(Graph));
    creatGraph(&g);
    putGraph(g);
    return 0;
}

2.优缺点

1. 优点

• 便于增加和删除顶点。
• 便于统计边的数目，按顶点表顺序扫面所有边表可得到边的数目，时间复杂度为O(n+e)。
• 空间效率高。

2.缺点

• 不便于判断顶点之间是否有边，要判定两个顶点之间是否有边，需扫描第i个边表，最长时间复杂度为O(n)。
• 不便于计算有向图各个顶点的度。