漫画:什么是 “哈夫曼树” ?

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————— 第二天 —————



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概念1:什么是路径?


在一棵树中,从一个结点到另一个结点所经过的所有结点,被我们称为两个结点之间的路径。




上面的二叉树当中,从根结点A到叶子结点H的路径,就是A,B,D,H



概念2:什么是路径长度?


在一棵树中,从一个结点到另一个结点所经过的“边”的数量,被我们称为两个结点之间的路径长度。




仍然用刚才的二叉树举例子,从根结点A到叶子结点H,共经过了3条边,因此路径长度是3



概念3:什么是 结点的带权路径长度?


树的每一个结点,都可以拥有自己的“权重”(Weight),权重在不同的算法当中可以起到不同的作用。


结点的带权路径长度,是指树的根结点到该结点的路径长度,和该结点权重的乘积。



假设结点H的权重是3,从根结点到结点H的路径长度也是3,因此结点H的带权路径长度是 3 X 3 = 9



概念4:什么是 树的带权路径长度?


在一棵树中,所有叶子结点的带权路径长度之和,被称为树的带权路径长度,也被简称为WPL


仍然以这颗二叉树为例,树的路径长度是 3X3 + 6X3 + 1X2 + 4X2 + 8X2 = 53



哈夫曼树是由麻省理工学院的哈夫曼博士于1952年发明,这到底是一颗什么样的树呢?


刚才我们学习了树的带权路径长度(WPL),而哈夫曼树(Huffman Tree)是在叶子结点和权重确定的情况下,带权路径长度最小的二叉树,也被称为最优二叉树。


举个例子,给定权重分别为1,3,4,6,8的叶子结点,我们应当构建怎样的二叉树,才能保证其带权路径长度最小?


原则上,我们应该让权重小的叶子结点远离树根,权重大的叶子结点靠近树根。


下图左侧的这棵树就是一颗哈夫曼树,它的WPL是46,小于之前例子当中的53:




需要注意的是,同样叶子结点所构成的哈夫曼树可能不止一颗,下面这几棵树都是哈夫曼树:






假设有6个叶子结点,权重依次是2,3,7,9,18,25,如何构建一颗哈夫曼树,也就是带权路径长度最小的树呢?




第一步:构建森林

我们把每一个叶子结点,都当做树一颗独立的树(只有根结点的树),这样就形成了一个森林:



在上图当中,右侧是叶子结点的森林,左侧是一个辅助队列,按照权值从小到大存储了所有叶子结点。至于辅助队列的作用,我们后续将会看到。


第二步:选择当前权值最小的两个结点,生成新的父结点

借助辅助队列,我们可以找到权值最小的结点2和3,并根据这两个结点生成一个新的父结点,父节点的权值是这两个结点权值之和:




第三步:从队列中移除上一步选择的两个最小结点,把新的父节点加入队列

也就是从队列中删除2和3,插入5,并且仍然保持队列的升序:




第四步:选择当前权值最小的两个结点,生成新的父结点

这是对第二步的重复操作。当前队列中权值最小的结点是5和7,生成新的父结点权值是5+7=12:




第五步:从队列中移除上一步选择的两个最小结点,把新的父节点加入队列

这是对第三步的重复操作,也就是从队列中删除5和7,插入12,并且仍然保持队列的升序:




第六步:选择当前权值最小的两个结点,生成新的父结点

这是对第二步的重复操作。当前队列中权值最小的结点是9和12,生成新的父结点权值是9+12=21:




第七步:从队列中移除上一步选择的两个最小结点,把新的父节点加入队列

这是对第三步的重复操作,也就是从队列中删除9和12,插入21,并且仍然保持队列的升序:




第八步:选择当前权值最小的两个结点,生成新的父结点

这是对第二步的重复操作。当前队列中权值最小的结点是18和21,生成新的父结点权值是18+21=39:




第九步:从队列中移除上一步选择的两个最小结点,把新的父节点加入队列

这是对第三步的重复操作,也就是从队列中删除18和21,插入39,并且仍然保持队列的升序:




第十步:选择当前权值最小的两个结点,生成新的父结点

这是对第二步的重复操作。当前队列中权值最小的结点是25和39,生成新的父结点权值是25+39=64:




第十一步:从队列中移除上一步选择的两个最小结点,把新的父节点加入队列

这是对第三步的重复操作,也就是从队列中删除25和39,插入64:



此时,队列中仅有一个结点,说明整个森林已经合并成了一颗树,而这棵树就是我们想要的哈夫曼树:




private Node root;private Node[] nodes;//构建哈夫曼树public void createHuffman(int[] weights) {    //优先队列,用于辅助构建哈夫曼树    Queue<Node> nodeQueue = new PriorityQueue<>();    nodes = new Node[weights.length];    //构建森林,初始化nodes数组    for(int i=0; i<weights.length; i++){        nodes[i] = new Node(weights[i]);        nodeQueue.add(nodes[i]);    }    //主循环,当结点队列只剩一个结点时结束    while (nodeQueue.size() > 1) {        //从结点队列选择权值最小的两个结点        Node left = nodeQueue.poll();        Node right = nodeQueue.poll();        //创建新结点作为两结点的父节点        Node parent = new Node(left.weight + right.weight, left, right);        nodeQueue.add(parent);    }    root = nodeQueue.poll();}//按照前序遍历输出public void output(Node head) {    if(head == null){        return;    }    System.out.println(head.weight);    output(head.lChild);    output(head.rChild);}public static class Node implements Comparable<Node>{    int weight;    Node lChild;    Node rChild;    public Node(int weight) {        this.weight = weight;    }    public Node(int weight, Node lChild, Node rChild) {        this.weight = weight;        this.lChild = lChild;        this.rChild = rChild;    }    @Override    public int compareTo(Node o) {        return new Integer(this.weight).compareTo(new Integer(o.weight));    }}public static void main(String[] args) {    int[] weights = {2,3,7,9,18,25};    HuffmanTree huffmanTree = new HuffmanTree();    huffmanTree.createHuffman(weights);    huffmanTree.output(huffmanTree.root);}复制代码


在这段代码中,为了保证结点队列当中的结点始终按照权值升序排列,我们使用了优先队列PriorityQueue


与此同时,静态内部类Node需要实现比较接口,重写compareTo方法,以保证Node对象在进入队列时按照权值来比较。






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