拜托,别问我什么各种Tree了,干就完事!

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此动画内容为本文目录,时常一分钟,太花时间可以跳过。本来一个思维导图可以搞定。但这一次尝试下这种方式,先放松放松。

一、 二叉树

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态:二叉树可以是空集;根可以有空的左子树或右子树;或者左、右子树皆为空。如下图所示

1 二叉树的五种性质

掌握二叉树的五种性质,能让我们在笔试中做题变得游刃有余,也就有更多的时间处理其他的题目。其具体的性质看下图。

![二叉树的5个性质]

2 两个特别的二叉树

完全二叉树:

满二叉树:

完全二叉树和满二叉树长啥样呢?

完全二叉树与满二叉树
完全二叉树与满二叉树

3 常见的存储方法

我们知道数组最大的一个特点就是内存连续,方便随机访问,下标通常从0开始。好了,知道这些我们就先看看用数组如何存储一棵二叉树。

数组方式
数组方式

我们了解了二叉树的一点基本概念后,为了表示节点之间的关系,引入链表结构,用左右两个指针分别指向左节点和右节点,这样就可以串联整个二叉树,如下图所示。

链表方式
链表方式

3 二叉树的遍历

先序遍历:访问根节点,访问当前节点的左子树;若当前节点无左子树,则访问当前节点的右子树;

先序遍历
先序遍历

中序遍历访问当前节点的左子树;访问根节点;访问当前节点的右子树;

中序遍历
中序遍历

后序遍历:从根节点出发,依次遍历各节点的左右子树,直到当前节点左右子树遍历完成后,才访问该节点元素。

后序遍历
后序遍历

层次遍历:

层次遍历
层次遍历

二、 二叉排序树

二叉排序树(Binary Sort Tree)又称二叉查找树、二叉搜索树。 它或者是一棵空树;或者是具有下列性质的二叉树:

(1)若左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值;

(2)若右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值;

(3)左、右子树也分别为二叉排序树;

其高度与树中结点个数n成对数关系,检索的时间开销为O(logn)。这里注意如果是下面图的情况,其检索的时间将变成线性的。

三、 哈夫曼树

哈夫曼树也叫做最优二叉树,一种带权路径长度最短的二叉树。那么什么是树的带权路径长度,它是树中所有的叶子节点的权值乘上其根节点的路径长度。

1 如何构造哈夫曼树

构造哈夫曼树
构造哈夫曼树

四、 平衡二叉树

之前我们知道了二叉排序树出现了线性的情况,所以需要想办法避免那种情况发生。这样两位爷爷发明了平衡二叉排序树,又叫AVL树。那么是怎么定义的呢?平衡二叉排序树是一类特殊的二叉排序树,它或者为空树,或者其左右子树都是平衡二叉排序树,而且其左右的子数高度之差绝对值不超过1.为了保证相对平衡,每次插入元素都会做相应的旋转,那么下面来看看这几种情况。

1 平衡二叉树与非平衡二叉树

平衡二叉树与非平衡二叉树
平衡二叉树与非平衡二叉树

2 平衡调整

LL型调整

如下图,因为在A的左孩子的左孩子插入新的节点,导致A的平衡因子从1变为2,不在满足根本性质[-1,1],所以需要通过旋转。显然,按照大小关系,结点B应作为新的根结点,其余两个节点分别作为左右孩子节点才能平衡,这样看来,仿佛A结点绕结点B顺时针旋转一样。

下图中,当在节点5的左子树中插入节点的时候而导致不平衡。这种情况调整如下:首先将元素5的左孩子2提升为新的根结点;然后将原来的根结点元素5降为元素2的右孩子;其他各子树按大小关系连接。

RR型调整

如下图,因为在A的右孩子的右孩子插入新的节点,导致A的平衡因子从-1变为-2,不在满足根本性质[-1,1],所以需要通过旋转。显然,按照大小关系,结点元素7应作为新的根结点,其余两个节点分别作为左右孩子节点才能平衡,这样看来,仿佛节点元素5绕结点元素7逆时针旋转一样。

RR型调整的一般形式如下图所示,表示节点元素B的右子树BR(不一定为空)中插入结点(图中阴影部分所示)而导致不平衡( h 表示子树的深度)。这种情况调整如下:
将A的右孩子B提升为新的根结点;
将原来的根结点A降为B的左孩子
各子树按大小关系连接(AL和BR不变,BL调整为A的右子树)。

LR调整

由于节点元素5的左孩子的右子树上插入新节点,导致不平衡。此时元素5的平衡因子由1变为2。第一张图是LR型的最简单形式。显然,按照大小关系,元素3应作为新的根结点,其余两个节点分别作为左右孩子节点才能平衡。

由于节点元素6增加一个左孩子,导致元素4变得不平衡。先顺时针旋转元素7再逆时针旋转4元素达到平衡。

RL调整

当在元素5的右孩子的左子树增加一个节点7的时候,会造成不平衡的情况。先逆时针旋转成RR情况,再将元素5顺时针旋转。

第二种情况方法类似,看起来会复杂一点。当在元素7得左孩子6增加左孩子元素5得时候,导致元素4变得不平衡。那么先顺时针调整元素7,再逆时针调整元素4

五、 B树和B+树

小伙伴们有没有想过,为什么很多数据库中的索引采用B+树呢?以及为什么索引是放在磁盘上。

1 B树

如果使用二叉树作为索引的底层实现结构,树会变得很高,从而增加了磁盘的IO次数,从而影响数据查询时间。因此为了降低其高度,让一个节点有多个子节点,B树就诞生了。

B树的容颜

一个M阶B树的哪些特性

官方英文

1、Every node has at most m children.

2、Every non-leaf node (except root) has at least [m/2] child nodes.

3、The root has at least two children if it is not a leaf node.

4、A non-leaf node with k children contains k − 1 keys.

5、All leaves appear in the same level.

中文

  • 根节点的儿子数量范围[2,M]

  • 每个中间节点包含 k-1 个关键字和 k 个孩子,孩子的数量 = 关键字的数量 +1,k 的取值范围为 [ceil(M/2), M]。

  • 叶子节点包括 k-1 个关键字(叶子节点没有孩子),k 的取值范围为 [ceil(M/2), M]。

  • 假设中间节点节点的关键字为:Key[1], Key[2], …, Key[k-1],且关键字按照升序排序,即 Key[i]<Key[i+1]。此时 k-1 个关键字相当于划分了 k 个范围,也就是对应着 k个指针,即为:P[1], P[2], …, P[k],其中 P[1] 指向关键字小于 Key[1] 的子树,P[i] 指向关键字属于 (Key[i-1], Key[i]) 的子树,P[k] 指向关键字大于 Key[k-1] 的子树。

  • 所有叶子节点位于同一层。

举个例子

上图为三阶图,查看磁盘3,关键字为20,30.三个孩子分别是(18,19),(22,25),(32,36).其中(18,19)小于20,(22,25)在(20,30)之间,(32,36)大于30.

那么在查找搜索的过程中,是怎样的访问过程呢?假设查找元素7

  • 与根节点比较,得到指针p1
  • 根据p1来到磁盘2,关键字为(9,15),发现小于9,得到指针p1
  • 根据p1来到磁盘5,关键字为(7,8),发现正好有7.

2 B+树

前文介绍了二分查找方法为O(log2n),但是会出现深度非常大退化为链表,其查找数据的时间复杂度变为O(n)。从而就出现了平衡二叉树。

B+树容颜

B+树性质

  • 有m个孩子的节点就有m个关键字(孩子数量=关键字数),而在B树中孩子数量=关键字数+1

  • 非叶子节点关键字也会出现在子节点中,而且子节点中为所有关键字的最大或最小
    非叶子节点只是用来索引,不保存数据的记录。在B树中,非叶子节点既保存索引也保存数据记录。

  • 所有关键字都存在于叶子节点,叶子节点构成有序链表,而且关键字按照从大到小或者从小到大顺序连接。

优点:

  • 因为B+树中间节点没有关键字,所以同样大小的磁盘页可以容纳更多的节点元素,也就是说在相同的情况下,B+树更加的矮胖,这样的话,IO的次数也就比较少。
  • B+树的查询相比B树更加稳定,因为B+树的查询是必须到叶子节点,而B树有可能在中间节点,也可能非中间节点。
  • B+树叶子节点形成了有序链表,更加有利于范围的查询

那么其查询的过程是什么样的呢。我们假设查询元素13

  • 首先与根节点的关键字(10,18,40)比较,13在10和18之间,此时得到P1指针
  • 磁盘2中的关键字为(10,12,15),这时15大于13,所有磁盘6
  • 关键字为(12,13),找到13

六、 红黑树

虽然在大部分情况下,面试中不会让你写出来,在面试中还是经常会问原理的内容,所以了解了解更稳妥(比如c++中的很荣STL底层就是基于它),时间复杂度是O(lgn)。其基本概念如下。

1 红黑树的性质

首先红黑树的节点要么是红色,要么是黑色。

1 根节点是黑色的

2 每个叶子节点是黑色的且不存储数据

3 任何相邻的节点不能同时为红色

4 每个节点,从该节点到可达的叶子节点的所有路径,其黑色节点的数目相同。

六、面试常见手撕算法汇总(树的遍历)

参考资料
https://blog.csdn.net/isunbin/article/details/81707606
https://www.javatpoint.com/b-plus-tree
https://www.cnblogs.com/geektcp/p/9992213.html