数据结构与算法(1)-复杂度

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算法复杂度

  • 算法复杂度是指算法在编写成可执行程序后,运行时所需要的资源,资源包括时间资源和内存资源。
  • 一个算法的质量优劣,主要从时间复杂度空间复杂度两个方面考量。

1.时间复杂度

一个算法执行所耗费的时间,一般情况下,算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数,用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),存在一个正常数c使得fn*c>=T(n)恒成立。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。

1.1 通常用大O()来表示时间复杂度
  • 用常数1取代运行时间中所有常数;记为O(1)
  • 在修改运行次数函数中,只保留最高阶项;n^3+2n^2+5记为 O(n^3)
  • 如果在最高阶存在且不等于1,则去除这个项目相乘的常数;2n^3 记为 O(n^3)
1.2 常数阶

代码执行次数恒定,时间不随着参数变化,用O(1)表示

void testSum1(int n){
    int sum = 0;                //执行1次
    sum = (1+n)*n/2;            //执行1次
    printf("testSum1:%d\n",sum);//执行1次
}
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这个算法运行的次数是固定的3次,所以时间复杂度,为O(1)

1.3 线性阶

代码执行次数,随着参数呈线性增长,用O(n)表示,

void add2(int x,int n){
    for (int i = 0; i < n; i++) { //执行n次
        x = x+1;                  //执行n次
    }
}
//时间复杂度为O(n)
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1.4 对数阶
int count = 1;
while(count < n){
	count = count * 2; 
}
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每次进入循环都会乘2,直到不小于n退出循环,执行次数为log(2,n),所以时间复杂度为O(log(n))

1.5 平方阶
void add3(int x,int n){
    for (int i = 0; i< n; i++) {            //执行n次
        for (int j = 0; j < n ; j++) {      //执行n次
            x=x+1;
        }
    }
}
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外层循环共执行n次,每执行1次,内层执行n次,所以共计执行n^2次,时间复杂度为O(n^2)

1.6 多维度

当执行次数函数有多个维度的时候,用最高阶的时间复杂度表示

7n^3 + 8n^2 + 9n + 10log(n)
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取最高阶,即n^3,所以时间复杂度为O(n^3)

2.空间复杂度

算法在执行时所需要的存储空间的度量,记座S(n)=O(f(n)),主要包括以下三个部分

  • 算法程序所占的空间
  • 输入的初始数据所占的存储空间
  • 算法执行过程中所需要的额外空间
2.1 借助一个临时变量,与规模n无关,所以空间复杂度为O(1)
    int n = 5;
    int a[10] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
    
    int temp;
    for(int i = 0; i < n/2 ; i++){
        temp = a[i];
        a[i] = a[n-i-1];
        a[n-i-1] = temp;
    }

    for(int i = 0;i < 10;i++)
    {
        printf("%d\n",a[i]);

    }
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2.2 借助一个大小为n的辅助数组,所以空间复杂度为O(n)
    int b[10] = {0};
    for(int i = 0; i < n;i++){
        b[i] = a[n-i-1];
    }
    for(int i = 0; i < n; i++){
        a[i] = b[i];
    }
    for(int i = 0;i < 10;i++)
    {
        printf("%d\n",a[i]);
        
    }
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iOS
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