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引言

上篇介绍了连续系统的PID算法，但是计算机控制是一种采样控制，他只能根据采样时刻的偏差来计算控制量，因此计算机控制系统中，必须对公式进行离散化，具体就是用求和代替积分，用向后差分来代替微分，使模拟PID离散化为数字形式的差分方程。

1 准备工作

在采样周期足够小时，可以作如下近似：

式中

T————为采样周期
k————为采样序号，k=0,1,2….

用这种近似方法，可以得到两种形式数字PID控制算法

1.1 位置式PID算法

由前面推倒很容易得到离散化后的表达式

由此式可以看出数字调节的输出u(k)跟过去的所有偏差信号有关，计算机需要对e(i)进行累加，运算量太大，一般不用，重点说明增量式PID算法。

1.2 增量式PID算法

由于增量式PID的算法不够方便，不仅对偏差进行累加，占用过多的存储单元，而且不方便写程序，所以需要进行一些改进，对位置式取增量，方法如下：

2 Matlab仿真

分析过程

对G(s)进行离散化即进行Z变换得到Z传递函数G(Z)；
分子分母除以z的最高次数即除以z的最高次得到；
由z的位移定理Z[e(t-kt)]=z^k*E(z)逆变换得到差分方程；
PID编程实现

具体实现细节在代码注释中已经给出

    %设一被控对象G（s）=50/(0.125s^2+7s),  
    %用增量式PID控制算法编写仿真程序  
    %（输入分别为单位阶跃、正弦信号，采样时间为1ms，控制器输出限幅：[-3,3],  
    %  仿真曲线包括系统输出及误差曲线）。  

    ts=0.001;                 %采样时间  
    sys=tf(50,[0.125,7, 0]); %tf是传递函数  即被控对象函数G（）;  
    dsys=c2d(sys,ts,'z');    %把控制函数离散化取Z变换n阶定常离散系统差分方程
                                %在零初始条件下取Z变换：
                                %dsys即Y(z)/U(z)
    [num,den]=tfdata(dsys,'v');% 离散化后提取分子、分母    
    u_1=0.0;  
    u_2=0.0;  
    y_1=0.0;  
    y_2=0.0;  
    x=[0,0,0]';  
    error_1=0;  
    error_2=0;  
    %核心代码

    for k=1:1:1000  
    time(k)=k*ts;                        %采样次数  
    S=1;  
    if S==1                              %阶跃输入
        kp=6.5;ki=0.1;kd=1;              %初始化PID    
        rin(k)=1;                        %Step Signal   
    elseif S==2                          %正弦输入
        kp=10;ki=0.1;kd=15;             
        rin(k)=0.5*sin(2*pi*k*ts);       %Sine Signal 即实际输入      
    end 

    du(k)=kp*x(1)+kd*x(2)+ki*x(3);       %PID Controller   控制系数    
    u(k)=u_1+du(k);                      %真正的PID输出应该为du+前一时刻的输出
    if u(k)>=3         
       u(k)=3;  
    end  
    if u(k)<=-3  
       u(k)=-3;  
    end  

    %Linear model 难点就是把传递函数转化为差分方程，以实现PID控制。 
    yout(k)=-den(2)*y_1-den(3)*y_2+num(2)*u_1+num(3)*u_2;          %实际输出 num为dsys分子多项式系数，den为dsys分母多项式系数，从n阶定常离散系统差分方程变化来的。
    error(k)=rin(k)-yout(k);                        % 误差=输入-输出 
    u_2=u_1;                                        %保存上上次输入   为下次计算  
    u_1=u(k);                                       %保存上一次控制系数   为下次计算  
    y_2=y_1;                                        %保存上上次次输出   为下次计算  
    y_1=yout(k);                                    %保存上一次输出   为下次计算  

    x(1)=error(k)-error_1;                          %KP的系数  
    x(2)=error(k)-2*error_1+error_2;                %KD的系数  
    x(3)=error(k);                                  %KI的系数
    error_2=error_1;                                %上次的变上上次误差
    error_1=error(k);                               %这次的变上次的误差
    end 


    figure(1);  
    plot(time,rin,'b',time,yout,'r');               %输入和实际控制输出  
    xlabel('time(s)'),ylabel('rin,yout');   
   figure(2);  
    plot(time,error,'r')                            %时间误差输出曲线  
    xlabel('time(s)');ylabel('error');

2.1 仿真效果（PID调参后）

2.2 调参过程

Step 1 确定比例系数Kp

确定比例系数Kp时，首先去掉PID的积分项和微分项，可以令Ti=0、Td=0，使之成为

纯比例调节。输入设定为系统允许输出最大值的60％～70％，比例系数Kp由0开始逐渐增大，直至系统出现振荡；再反过来，从此时的比例系数Kp逐渐减小，直至系统振荡消失。记录此时的比例系数Kp，设定PID的比例系数Kp为当前值的60％～70％。
Step 2 确定积分时间常数Ti

比例系数Kp确定之后，设定一个较大的积分时间常数Ti，然后逐渐减小Ti，直至系统出现振荡，然后再反过来，逐渐增大Ti，直至系统振荡消失。记录此时的Ti，设定PID的积分时间常数Ti为当前值的150％～180％。
Step 3 确定微分时间常数Td; 微分时间常数Td一般不用设定，为0即可，此时PID调节转换为PI调节。如果需要设定，则与确定Kp的方法相同，取不振荡时其值的30％。
Step 4 系统空载、带载联调; 对PID参数进行微调，直到满足性能要求。