堆及其应用

堆是一个完全二叉树，分为大顶堆和小顶堆。大顶堆每一个节点的值都必须大于等于其子树中每个节点的值，小顶堆正好相反

既然堆是完全二叉树，那么就可以通过数组来构建堆，父节点下标为i/2，左子节点i×2，右子节点i×2+1实现快速定位。

插入调整

记住四个字：自下而上，下图是插入22的流程图：

以下是伪代码：

void insert(int data) {
    if (count >= n) return; //堆满了
    ++count;
    val[count] = data;
    int i = count;
    while (i/2 > 0 && val[i] > val[i/2]) { //自下往上
      swap(i, i/2); //只要父节点比子节点小，就交换
      i = i/2;
    }
  }

删除调整

堆只允许删除堆顶元素，删除记住四个字：自上而下，每次删除把最后一个元素覆盖到堆顶，然后个数--，最后维护堆。以下是删除堆顶元素33：

以下是伪代码：

void removeMax() {
  if (count == 0) return; //堆空
  val[1] = val[count];	//把最后一个元素覆盖到堆顶，然后count--
  --count;
  //维护大顶堆每个节点都比其子节点大的性质
  int i = 1;
  while (i <= n) {
    int maxPos = i;
    if (i*2 <= n && val[i] < val[i*2]) maxPos = i*2;
    if (i*2+1 <= n && val[maxPos] < val[i*2+1]) maxPos = i*2+1;
    if (maxPos == i) break;	//若当前节点比子节点都打，则跳出自顶向下循环
    swap(i, maxPos);		//否则和最大的子节点交换，并继续自顶向下递归
    i = maxPos;
  }
}

应用

合并有序小文件

假设把100个有序小文件合并成一个有序大文件，我们先从每个文件中取第一个字符来构建大小为100的小顶堆，每次取出堆顶判断堆顶元素为几号文件，再从对应文件取下个字符放入堆中，重复过程直到排序完成，时间复杂度为O(nlogn)

高性能定时器

将任务按照任务执行时间存储在堆中，堆首存储最先执行的任务。系统拿堆顶执行时间点与当前时间相减得到间隔t，过t秒后定时器取堆顶任务执行并计算重新计算新堆顶的间隔，重复这个过程。

求topK大

我们维护一个容量为K的小顶堆，不满K时一直插入直到堆满。堆满后每次比较当前值和堆顶，若小于堆顶元素直接删除，大于堆顶则将堆顶元素替换为当前值并维护小顶堆的特性(即小顶堆中任意节点小于其子节点)，重复这个过程，时间复杂度为O(nlogK)

求中位数

维护一个小顶堆和一个大顶堆，保证：

大顶堆中所有元素都小于小顶堆元素
0 <= 大顶堆个数 - 小顶堆个数 <= 1

这样大顶堆的堆顶元素即为中位数，时间复杂度为O(nlongn)，过程演示：

数据结构与算法--堆