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我还是推荐系统小白，因此对此课题理解相当浅显，但一定很好懂。这才是学一样新东西的正确开始方式。
介绍
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故事的背景包括 4 个小孩和 5 部动画，每个小孩为每部动画打分
- 1 分代表最不喜欢
- 5 分代表最喜欢
2
悠悠觉得「小猪佩奇」还可以，给了 3 分。建立一个 4 × 5 的矩阵
- 每行代表一个小孩给所有动画打的分数
- 每列代表一部动画被所有小孩打的分数
当悠悠给「小猪佩奇」打完分后，在矩阵第 1 行第 1 列填入 3 分。
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假设 4 个小孩为 5 部动画打分完毕，哪一个打分矩阵最像真的？
- 最左边不像，小孩的喜好不会这么千篇一律
- 最右边不像，小孩的喜好不会这么毫无联系
- 中间的最像，小孩的喜好会有一定的规律
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悠悠和丫丫年龄差不多，总在一起看动画片，她俩的对动画的品位出奇相似（5 部动画给出同样的评分），比如大爱「小猪佩奇」，小爱「狮子王」，不喜欢「冰雪奇缘」「超人特工队」「玛莎和熊」。
规律 1：不同用户的喜好可能相似。
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乐乐喜欢看带「人物」的动画，他给「冰雪奇缘」和「超人特工队」高分；丫丫喜欢看带「动物」的动画，她给「小猪佩奇」和「狮子王」高分；多多还比较小，只要是动画都喜欢，他给所有动画高分（多多给的分是乐乐和丫丫给的分之和）。
规律 2：一个用户的喜好可能包含其他多个用户的喜好。
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「玛莎和熊」的评分是「狮子王」和「冰雪奇缘」的评分的均值。可能原因是「狮子王」里只含有动物，「冰雪奇缘」里绝大部分是人，而「玛莎和熊」里既有动物又有人，而且数目相当。
规律 3：一个动画内容可能包含其他多个动画内容。
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先看一个最简单的推荐系统。
当所有人给所有电影打 3 分，问丫丫应该给「超人特工队」打多少分？
从评分矩阵来看，每个人对每个电影喜欢一样，因此预测出丫丫会给「超人特工队」打 3 分。
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再看一个稍微复杂的推荐系统。
问丫丫应该给「玛莎和熊」打多少分？
从评分矩阵第一行和第三行来看，悠悠和丫丫的喜欢相同，因此预测出丫丫会给「玛莎和熊」打 2 分，和悠悠一样。
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上面例子太简单，如果小孩有很多个，动画有很多部，我们怎么才能从评分矩阵中学到所有的规律呢？
答案：找到隐含特征！
回到上面的例子，如果特征是动画片的类别，那么特征值有两个，人物类和动物类。那么根据不同小孩对这两类动画特征的喜好，如上图，
悠悠和丫丫喜欢动物类，不喜欢人物类乐乐喜欢人物类，不喜欢动物类多多都喜欢
再根据具体动画片含这两类特征的比重，如下图
我们可以将 4 × 5 的评分矩阵分解成
- 4 × 2 的「小孩-特征」矩阵
- 2 × 5 的「特征-动画」矩阵
如下。
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因此我们要做的事情就是讲评分矩阵分解成两个非负矩阵的乘积，专业术语是非负矩阵分解（Non-negative Matrix Factorization, NMF）, 机器学习包 Scikit-Learn 里有实现哦。
import numpy as np
from sklearn.decomposition import NMF
用上面数据试了下，虽然分别的矩阵不是完全一样，但矩阵中是 0 的还是 0，其他元素只是差了一个缩放因子（scaling factor），你看最后把两个分解矩阵相乘，差不到能得到原来的评分矩阵。
实际情况下，不可能每个小孩对每部动画都给出评分，因此不能直接用 NMF，那些缺失值才体会推荐系统的价值，我们要根据已有的评分来预测未给的评分，再决定是否推荐。
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实际情况，打 ？都是未给出评分，这时
- 设「小孩-特征」矩阵为 U
- 设「特征-动画」矩阵为 V
用以下误差函数（只考虑未缺失的 Ri,j）
(Ri,j – U 第 i 行和 V 第 j 列内积)2
怎么解？梯度下降呗！解完 U 和 V 后相乘发现 R4,4 = 5，那么妥妥的给多多推荐狮子王！
