矩阵分析 (七) 矩阵特征值的估计矩阵特征值是矩阵的重要参数之一。从前面的讨论可以看到，把矩阵对角化或者求矩阵的约当标准

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矩阵特征值是矩阵的重要参数之一。从前面的讨论可以看到，把矩阵对角化或者求矩阵的约当标准形、判别矩阵的收敛，以及矩阵函数的性质都与特征值有关。当矩阵的阶数高于五次时，没有求根公式，这个时候如果能够给出特征值的位置或者给出特征值的取值范围，会对解决问题有一定的帮助。

不具体求特征值，而是给出特征值的范围，这就是特征值估计问题。例如讨论矩阵幂级数 $\sum_{k=0}^{\infty}C_{k}A^{k}$ 是否收敛，只要知道矩阵 $A$ 的谱半径是否小于幂级数 $\sum_{k=0}^{\infty}C_{k}z^{k}$ 的收敛半径即可。

在自动控制理论中，系统的稳定性与特征值的实数部分的符号有关，如果实数部分为负，则系统稳定。因此通过矩阵本身的数值来给出特征值的范围就显得很重要。

特征值界的估计

前面讲到范数时曾经有：

即矩阵的谱半径小于任何一个矩阵的范数，而范数可以通过矩阵本身的数值来计算，不需要解方程。

下面给出特征值的估计。

如果 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值， $x$ 为特征向量，则 $Ax=\lambda x$ ，进一步假设 $x$ 是单位向量，则 $x^{H}x=1$ ，两边乘以 $x^{H}$ ：

即 $\lambda$ 可以由 $x^{H}Ax$ 决定，可以通过估计这个函数来估计特征值。

定理7.1：设 $A \in C^{n \times n}$ , $x \in C^{n}$ ，且 $||x||_{2}=1$ ，则：

推论：由 $\lambda=x^{H}Ax$ ，得 $| \lambda | \leq ||A||_{m_{\infty}}$ 。
定理7.2 设：

B= \frac{1}{2}(A+A^{H})，C= \frac{1}{2}(A-A^{H})

则 $A$ 的特征值 $\lambda$ 满足：

|Re \lambda| \leq ||B||_{m_{\infty}}，|Im \lambda | \leq ||C||_{{m_{\infty}}}

推论：厄米特矩阵的特征值都是实数，反厄米特矩阵的特征值为零或者纯虚数。
定理7.3：(舒尔定理) 设 $A \in C^{n \times n}$ 的特征值为 $\lambda_{1}$ , $\lambda_{2}$ , $\cdots$ $\lambda_{n}$ ，则：

|\lambda_{1}|^{2}+|\lambda_{2}|^{2}+\cdots |\lambda_{n}|^{2} \leq ||A||_{F}^{2}

且等式成立的充要条件是 $A$ 为正规矩阵。

特征值的包含区域

上一节给出了特征值大小的估计，这一节介绍一些判别矩阵特征值位置的方法。

Gerschgorin 盖尔圆定理

与上一节类似，我们需要用矩阵元素给出特征值的估计。设 $\lambda$ 为 $A=(a_{ij})_{n \times n}$ 的特征值， $x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})^{T}$ 为 $A$ 的属于 $\lambda$ 的特征向量，则由 $Ax=\lambda x$ 得：

\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i} (i=1,2,\cdots , n)

x_{i}(\lambda -a_{ii}) =\sum_{j=1,j \neq i}^{n}a_{ij}x_{j}

|\lambda-a_{ii}|=|\sum a_{ij} \frac{x_{j}}{x_{i}}| \leq \sum|a_{ij}| |\frac{x_{j}}{x_{i}}|

如果 $|x_{i}| \geq |x_{j}|$ ，则 $|\frac{x_{j}}{x_{i}}| \leq 1$ 得：

|\lambda - a_{ii}| = \sum_{j=1,j \neq i}^{n}|a_{ij}|

上述不等式在几何上是一个圆，即特征值落在一个圆中。

定义设 $A=(a_{ij})_{n \times n}$ ，记：

称复平面的圆域：

G_{i} = \{z||z-a_{ii}| \leq R_{i} , z \in C\}

为 $A$ 的第 $i$ 个盖尔圆，称 $R_{i}$ 为盖尔圆的半径，由于：

的分量中必有一个 $x_{i}$ 使得 $|x_{i}| = max_{j}|x_{j}|$ ，所以必有一个 $i$ 使得：

成立，由此得到：

定理7.4：矩阵 $A \in C^{n \times n}$ 的全体特征值都在它的 $n$ 个盖尔圆构成的并集之中。

注意到 $A \in C^{n \times n}$ 与 $A^{T}$ 的特征值相同，根据定理7.4可得， $A$ 的特征值也在 $A^{T}$ 的 $n$ 个盖尔圆构成的并集之中。称 $A^{T}$ 的盖尔圆为 $A$ 的列盖尔圆。

根据盖尔圆理论，对任何矩阵 $A$ 特征值一定满足 $|\lambda -a_{ii}| \leq R_{i}$ 。若 $\lambda =0$ ，则 $|a_{ii}| \leq R_{i}$ 。

从这里可以看出，若矩阵 $A$ 严格对角占优，即 $|a_{ii}| > R_{i}$ ，则：

推论：若 $A$ 为实矩阵 $A \in R^{n \times n}$ ,且 $A$ 的 $n$ 个盖尔圆是孤立的，则 $A$ 有 $n$ 个互不相同的实特征值。

$A$ 为实矩阵时，特征方程 $|\lambda E -A| = 0$ 为实代数方程，它的复根一定成对出现，一定是共轭的，即 $a \pm ib$ 的形式，且 $|\lambda -a_{ii}|$ 的形式，且 $|\lambda -a_{ii}| \leq R_{i}$ 中， $a_{ii}$ 是实数，特征值一定是实数。

特征值的隔离

前面讲述了用盖尔圆分析特征值的方法，当矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，即 $B =C^{-1}AC$ 时， $A$ 与 $B$ 有相同的特征值。利用这一个性质，可以通过改变盖尔圆的大小，分析某个特征值的位置。在这里取比较简单的 $C$ ,可以取成对角矩阵，且对角线元素为正。

B=CAC^{-1} = (a_{ij} \frac{c_{i}}{c_{j}})_{n\times n}

则 $A$ 与 $B$ 有相同的特征值，通过适当地选取正数 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， $\cdots$ ， $c_{n}$ ，有可能使每一个盖尔圆包含 $A$ 的一个特征值。选取 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， $\cdots$ ， $c_{n}$ 的一般原则是，欲使 $A$ 的第 $i$ 个盖尔圆缩小，可取 $c_{i }<1$ ，其余取为1，此时 $B$ 的其他盖尔圆适量放大；反之，欲使 $A$ 的第 $i$ 个盖尔圆放大，可取 $c_{i} > 1$ ，其余取为1，此时 $B$ 的其余盖尔圆适量缩小。