前言

最近开始刷题，真实地解决了大学时期“这黑窗口敲来敲去做数学题有卵用？”的困惑。有些东西之前学过，现在忘了，但是正是因为学过，所以再学一遍就变得效率很高（但是我还是不认可大学的学科教学顺序）。废话不多说，这篇博客只是一个笔记，希望之后有了更深的认识能够完善。

前缀、中缀以及后缀表达式是什么？

先聚合一下定义，以后万一要复习也好找XD

前缀表达式

波兰表示法（Polish notation，或波兰记法），是一种逻辑、算术和代数表示方法，其特点是操作符置于操作数的前面，因此也称做前缀表示法。

中缀表达式

中缀表示法（或中缀记法）是一个通用的算术或逻辑公式表示方法， 操作符是以中缀形式处于操作数的中间（例：3 + 4）。与前缀表达式（例：+ 3 4）或后缀表达式（例：3 4 +）相比，中缀表达式不容易被电脑解析，但仍被许多程序语言使用，因为它符合人们的普遍用法。

与前缀或后缀记法不同的是，中缀记法中括号是必需的。计算过程中必须用括号将操作符和对应的操作数括起来，用于指示运算的次序。

后缀表达式

逆波兰表示法（Reverse Polish notation，RPN，或逆波兰记法），是一种是由波兰数学家扬·武卡谢维奇1920年引入的数学表达式方式，在逆波兰记法中，所有操作符置于操作数的后面，因此也被称为后缀表示法。逆波兰记法不需要括号来标识操作符的优先级。

对中缀表达式进行转换

这应该是基础中的基础了，理解并记忆思路，再跟着栗子走两步，最后敲一遍代码，基本就掌握了。

中缀表达式转前缀表达式

思路

1. 初始化两个栈：运算符栈 S1; 操作数栈 S2
2. 从右至左扫描中缀表达式
3. 遇到操作数时，将其压入 S2
4. 遇到运算符时，比较其与 S1 栈顶运算符的优先级
   1. 如果 S1 为空，或栈顶运算符为右括号 ")"，或其优先级比栈顶运算符的优先级较高或相等，则直接将此运算符入栈
   2. 否则，将 S1 栈顶的运算符弹出并压入到 S2 中，再次进行与 S1 栈顶运算符的优先级比较
5. 遇到括号时
   1. 如果是右括号 ")"，则直接压入 S1
   2. 如果是左括号 "("，则依次弹出 S1 栈顶的运算符，并压入 S2，直到遇到右括号 ")" 为止，此时将这一对括号丢弃
6. 重复步骤 2 至 5，直到表达式的最左边
7. 将 S1 剩余的运算符依次弹出并压入 S2
8. 依次弹出 S2 中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式

栗子

(1 + (3 * 4) / 6 ) - 5

扫描到的元素	S2 (栈底 -> 栈顶)	S1 (栈底 -> 栈顶)	说明
5	5	空	操作数，直接入栈 S2
-	5	-	运算符，S1 为空，直接入栈
)	5	- )	右括号，直接入栈 S1
6	5 6	- )	操作数，直接入栈 S2
/	5 6	- ) /	运算符，且 S1 栈顶为 右括号，直接入栈
)	5 6	- ) / )	右括号，直接入栈 S1
4	5 6 4	- ) / )	操作数，直接入栈 S2
*	5 6 4	- ) / ) *	运算符，且 S1 栈顶为 右括号，直接入栈
3	5 6 4 3	- ) / ) *	操作数，直接入栈 S2
(	5 6 4 3 *	- ) /	左括号，S1 栈弹出运算符压入 S2 直至遇到右括号，一对括号丢弃
+	5 6 4 3 * /	- ) +	运算符，但优先级低于 S1 栈顶运算符，S1 弹出运算符压入 S2，直至栈顶优先级低于运算符，再入栈
1	5 6 4 3 * / 1	- ) +	操作数，直接入栈 S2
(	5 6 4 3 * / 1 +	-	左括号，S1 栈弹出运算符压入 S2 直至遇到右括号，一对括号丢弃
到达最左端	5 6 4 3 * / 1 + -	空	将 S1 剩余的运算符依次弹出并压入 S2

依次弹出 S2 中的元素并输出结果： -+1/*3465

代码

中缀表达式转后缀表达式

思路

1. 初始化两个栈：运算符栈 S1; 操作数栈 S2
2. 从左至右扫描中缀表达式
3. 遇到操作数时，将其压入 S2
4. 遇到运算符时，比较其与 S1 栈顶运算符的优先级
   1. 如果 S1 为空，或栈顶运算符为左括号 "("，或其优先级比栈顶运算符的优先级较高，则直接将此运算符入栈
   2. 否则，将 S1 栈顶的运算符弹出并压入到 S2 中，再次进行与 S1 栈顶运算符的优先级比较
5. 遇到括号时
   1. 如果是左括号 "("，则直接压入 S1
   2. 如果是右括号 ")"，则依次弹出 S1 栈顶的运算符，并压入 S2，直到遇到左括号 "(" 为止，此时将这一对括号丢弃
6. 重复步骤 2 至 5，直到表达式的最右边
7. 将 S1 剩余的运算符依次弹出并压入 S2
8. 拼接 S2 中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的后缀表达式

栗子

(1 + (3 * 4) / 6 ) - 5

扫描到的元素	S2 (栈底 -> 栈顶)	S1 (栈底 -> 栈顶)	说明
(	空	(	左括号，直接入栈 S1
1	1	(	操作数，直接入栈 S2
+	1	( +	运算符，且 S1 栈顶为 左括号，直接入栈
(	1	( + (	左括号，直接入栈 S1
3	1 3	( + (	操作数，直接入栈 S2
*	1 3	( + ( *	运算符，且 S1 栈顶为 左括号，直接入栈
4	1 3 4	( + ( *	操作数，直接入栈 S2
)	1 3 4 *	( +	右括号，S1 栈弹出运算符压入 S2 直至遇到左括号，一对括号丢弃
/	1 3 4 *	( + /	运算符，且优先级高于 S1 栈顶的运算符，直接入栈
6	1 3 4 * 6	( + /	操作数，直接入栈 S2
)	1 3 4 * 6 / +	空	右括号，S1 栈弹出运算符压入 S2 直至遇到左括号，一对括号丢弃
-	1 3 4 * 6 / +	-	运算符，S1 为空，直接入栈
5	1 3 4 * 6 / + 5	-	操作数，直接入栈 S2
到达最右端	1 3 4 * 6 / + 5 -	空	将 S1 剩余的运算符依次弹出并压入 S2

拼接 S2 中的元素并输出结果：134*6/+5-

代码

考题扩展

leetcode 150. 逆波兰表达式求值

根据逆波兰表示法，求表达式的值。
有效的运算符包括 +, -, *, / 。每个运算对象可以是整数，也可以是另一个逆波兰表达式。
说明：
整数除法只保留整数部分。
给定逆波兰表达式总是有效的。换句话说，表达式总会得出有效数值且不存在除数为 0 的情况。

对比上面的操作，这题考的是一个逆向思维。

思路

1. 初始化一个栈 stack 和一个包含 +-*/ 操作的操作策略对象 operation
2. 从左至右扫描逆波兰表达式
   1. 遇到操作数时，压入栈 stack
   2. 遇到运算符时，依次取出栈顶的两个元素b、a（为了照顾(减)除法操作，先出栈的为(减)除数 b ，后出栈的为被(减)除数 a ），调用 operation 策略对象的相应方法，并将运算结果入栈 stack
3. 重复步骤 2，直到表达式的最右边
4. 弹出栈顶元素即是运算结果

代码

波兰表达式求值

这个就举一反三就完事了。

思路

1. 初始化一个栈 stack 和一个包含 +-*/ 操作的操作策略对象 operation
2. 从右至左扫描波兰表达式
   1. 遇到操作数时，压入栈 stack
   2. 遇到运算符时，依次取出栈顶的两个元素a、b（为了照顾(减)除法操作，先出栈的为被(减)除数 a ，后出栈的为(减)除数 b ），调用 operation 策略对象的相应方法，并将运算结果入栈 stack
3. 重复步骤 2，直到表达式的最左边
4. 弹出栈顶元素即是运算结果

代码

模拟 eval('(1 + (3 * 4) / 6 ) - 5')

思路

经过上面的熟悉和理解，这个就很简单了，只要将中缀表达式转换成后缀表达式或者前缀表达式其中的一种，再进行求值即可，代码就是把上面的组装一下，这里就不列出了。

后记

工作一段时间，算法和数据结构渐渐生疏了，在刷题的时候，又把大学的学习的知识慢慢找回来，虽然要花一段时间，但是一旦将时间投入进去，会慢慢地感兴趣，进入良性循环。

贴个GitHub，刚刚起步进行“圣地巡礼”：github.com/LazyDuke/le…。