斐波那契数列
概述
下面简述引自，得到课程吴军老师的《数学通识50讲》
数列是一种工具。它看似是一串数字，但这里重要的是彼此的关联，以及数字的规律，而不是数字本身。那些规律和我们现实生活中一些事情的发展过程相关，于是这个工具就能够运用到我们真实的世界里了。
比如我们后面要讲到的媒体转播的发散和收敛问题，以及利息问题，就和几何数列有关。以斐波那契数列为例，它其实反映出一个物种自然繁衍，或者一个组织自然发展过程中成员的变化规律。斐波那契数列最初是这样描述的：
有一对兔子，它们生下了一对小兔子，前面的我们叫做第一代，后面的我们叫做第二代。然后这两代兔子各生出一对兔子，这样就有了第三代。这时第一代兔子老了，就生不了小兔子了，但是第二、第三代还能生，于是它们生出了第四代。然后它们不断繁衍下去。那么请问第N代的兔子有多少对？这个数列，就是1，1，2，3，5，8，13，21，……
如果我们稍微留心一下这个数列的增长速度，虽然它赶不上1，2，4，8，16这样的翻番增长，但其实也很快，也呈现出一种指数增长的趋势。在现实生活中，兔子的繁殖曾经就是这么迅猛。
1859 年，一个名叫托马斯·奥斯汀的英国人移民来到澳大利亚，他喜欢打猎，但发现澳大利亚没有兔子可打，便让侄子从英国带来了24只兔子。
这24只兔子到了澳大利亚后被放到野外，由于没有天敌，它们便快速繁殖起来。兔子一年能繁殖几代，年初刚生下来的兔子，年底就会成为“曾祖”。几十年后，兔子数量飙升至40亿只，这在澳大利亚造成了巨大的生态灾难。
有人可能会问，为什么不吃兔子？澳大利亚人也确实从1929年开始吃兔子肉了，但是吃的速度没有繁殖的快。澳大利亚政府甚至动用军队捕杀，也收效甚微。
最后，在1951年，澳大利亚引进了一种能杀死兔子的病毒，终于消灭了99％以上的兔子，可是少数大难不死的兔子产生了抗病毒性，于是“人兔大战”一直延续至今。从这个故事我想说的是，真遇上指数增长的事情，是非常可怕的。
接下来，我们就定量地分析一下斐波那契数列增长有多快。我们不妨用Fn代表数列中第n个数，那么Fn+1就表示其中的第n+1个数。我们再用Rn，代表Fn+1和Fn的比值，也就是后一个数和前一个数的比值，你可以把它们看成是数列增长的相对速率。
OK，有兴趣的朋友可以去订阅这门课程，后面主要围绕黄金分割比例来讲，不是我们的重点，了解了这个规则，我们试着使用不同的程序方式来实现以下
函数递归
const f = function (n) {
if(n <= 1) return 1;
return f(n - 1) + f(n -2);
}
console.log(f(40))实现特别简单，基本利用函数栈在不断分解子表达式，最后返回总值，时间复杂度是指数级，并且造成大量重复计算，那让我们来运行一下看一下它需要的时间
尾递归调用
尾调用概述
尾调用（Tail Call）是函数式编程的一个重要概念，本身非常简单，一句话就能说清楚，就是指某个函数的最后一步是调用另一个函数。
function f(x){
return g(x);
}
上面代码中，函数f的最后一步是调用函数g，这就叫尾调用。
尾调用之所以与其他调用不同，就在于它的特殊的调用位置。
我们知道，函数调用会在内存形成一个“调用记录”，又称“调用帧”（call frame），保存调用位置和内部变量等信息。如果在函数A的内部调用函数B，那么在A的调用帧上方，还会形成一个B的调用帧。等到B运行结束，将结果返回到A，B的调用帧才会消失。如果函数B内部还调用函数C，那就还有一个C的调用帧，以此类推。所有的调用帧，就形成一个“调用栈”（call stack）。
尾调用由于是函数的最后一步操作，所以不需要保留外层函数的调用帧，因为调用位置、内部变量等信息都不会再用到了，只要直接用内层函数的调用帧，取代外层函数的调用帧就可以了。
代码实现
const f = function (n, prev = 1, next = 1) {
if (n < 2) {
return next
}
return f(n - 1, next, prev + next)
}
console.log(f(40))
实现也特别简单，基本利用尾调用原理，将函数一次性返回，那让我们来运行一下看一下它需 要的时间
递推
递推概述
递推是一种用若干步可重复运算来描述复杂问题的方法。递推是序列计算中的一种常用算法。通常是通过计算前面的一些项来得出序列中的指定项的值。
代码实现
function f (n = 1) {
let i = 0, res = []
while (i <= n) {
if (i <= 1) {
res[i] = 1
i++
continue
}
res[i] = res[i - 1] + res[i - 2]
i++
}
return res[n]
}
console.log(f(40)) 递推的方式时间复杂度为O(n)，我们来对比一下循环语句快和函数调用栈的消耗哪个更大，来看一下运行结果
总结
我们可以看到函数递归在实际场景下的消耗还是很大的，但是通过chrome的堆栈debugger，我们还是可以发现尾递归在创建调用栈，大家可以下去自己试一下。更多优化思路，欢迎大家一起讨论。
