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数据结构-二叉树遍历算法

前言

在计算机科学中, 树(tree) 是一种广泛使用的抽象数据类型(ADT),是一类非线性数据结构。树在计算机领域得到广泛应用,尤其二叉树最为常用。

树的相关概念:

  • 结点:每个元素称为结点
  • 树根:根节点
  • 度:一个结点含有的子结点的个数称为该结点的度
  • 叶子节点:度为0的节点

一、二叉树

概念:每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树。

1.1、遍历二叉树

二叉树有两种遍历深度遍历和广度遍历,其中深度遍历有前序、 中序和后序三种遍历方法。 广度遍历就是层次遍历,按层的顺序一层一层遍历。

四种遍历的主要思想:

  • 前序:先访问根,然后访问左子树,最后访问右子树,DLR。
  • 中序:先访问左子树,然后访问根,最后访问右子树,LDR。
  • 后序:先后访问左子树,然后访问右子树,最后访问根,LRD。
  • 广度:按层的顺序一层一层遍历。

例如a+b*(c-d)-e/f,该表达式用二叉树表示如图:

对他分别进行遍历:

  • 前序:-+a*b-cd/ef
  • 中序:a+b*c-d-e/f
  • 后序:abcd-*+ef/-
  • 广度:-+/a*efb-cd

1.2、用js表示二叉树

我们用js的对象来表示二叉树,对象拥有三个属性,left、value、right,分别是左子树,值和右子树,上面a+b*(c-d)-e/f的例子我们用js可以这样表示。

var tree = {
    value: '-',
    left: {
        value: '+',
        left: {
            value: 'a'
        },
        right: {
            value: '*',
            left: {
                value: 'b'
            },
            right: {
                value: '-',
                left: {
                    value: 'c'
                },
                right: {
                    value: 'd'
                }
            }
        }
    },
    right: {
        value: '/',
        left: {
            value: 'e'
        },
        right: {
            value: 'd'
        }
    }
}
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1.3、前序遍历算法

前序:有两种方法,第一种很简单就是直接使用递归的办法。

function preOrder(treeNode) {
  if(treeNode) {
    console.log(treeNode.value); // 打印出来代表访问这个节点
    preOrder(treeNode.left);
    preOrder(treeNode.right);
  }
}
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算法思路很简单,先遍历根节点,然后递归遍历左子树,左子树遍历结束后,递归右子树。

第二种非递归遍历

function preOrder(treeNode) {
  if(treeNode) {
    var stack = [treeNode]; //将二叉树压入栈
    while (stack.length !== 0) {
      treeNode = stack.pop(); // 取栈顶
      document.getElementById('text').appendChild(document.createTextNode(treeNode.value)); // 访问节点
      if(treeNode.right) stack.push(treeNode.right); // 把右子树入栈
      if(treeNode.left) stack.push(treeNode.left); // 把左子树入栈
    }
  }
}
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第二种是使用栈的思想,我们都知道,栈是先进后出的一种数据结构,我们先把根节点入栈,然后取栈顶,访问根节点,分别把右左子树入栈,这边必须右边先入栈,因为我们是要先从左边开始访问的,所以右子树先入栈,然后就循环取出栈,直到栈空。

1.4、中序遍历算法

中序递归算法:

function InOrder(treeNode) {
    if(treeNode) {
        InOrder(treeNode.left);
        document.getElementById('text').appendChild(document.createTextNode(treeNode.value));
        InOrder(treeNode.right);
    }
}
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和前序递归算法同样的思路,只是访问节点位置不同

第二种:

function InOrder(node) {
  if(node) {
    var stack = [];             // 建空栈
    //如果栈不为空或结点不为空,则循环遍历
    while (stack.length !== 0 || node) { 
      if (node) {               //如果结点不为空
          stack.push(node);     //将结点压入栈
          node = node.left;     //将左子树作为当前结点
      } else {                  //左子树为空,即没有左子树的情况
          node = stack.pop();   //将结点取出来
          document.getElementById('text').appendChild(document.createTextNode(node.value));
          node = node.right;    //将右结点作为当前结点
      }
    }
  }
}
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非递归中序算法的思想就是,把当前节点入栈,然后遍历左子树,如果左子树存在就一直入栈,直到左子树为空,访问但前节点,然后让右子树入栈。

1.5、后序遍历算法

第一种:递归遍历算法

function postOrder(node) {
    if (node) { //判断二叉树是否为空
        postOrder(node.left); //递归遍历左子树
        postOrder(node.right); //递归遍历右子树
        document.getElementById('text').appendChild(document.createTextNode(node.value));
    }
}
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第二种:非递归遍历算法

function postOrder(node) {
    if (node) { //判断二叉树是否为空
        var stack = [node]; //将二叉树压入栈
        var tmp = null; //定义缓存变量
        while (stack.length !== 0) { //如果栈不为空,则循环遍历
            tmp = stack[stack.length - 1]; //将栈顶的值保存在tmp中
            if (tmp.left && node !== tmp.left && node !== tmp.right) { //如果存在左子树,node !== tmp.left && node !== tmp.righ 是为了避免重复将左右子树入栈
                stack.push(tmp.left);   //将左子树结点压入栈
            } else if (tmp.right && node !== tmp.right) { //如果结点存在右子树
                stack.push(tmp.right);  //将右子树压入栈中
            } else {
                document.getElementById('text').appendChild(document.createTextNode(stack.pop().value));
                node = tmp;
            }
        }
    }
}
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这里使用了一个tmp变量来记录上一次出栈、入栈的结点。思路是先把根结点和左树推入栈,然后取出左树,再推入右树,取出,最后取根结点。
下面是用这个算法遍历前面那个二叉树的过程


        stack       tmp         node        打印
初始 :  -          null         -
第1轮:  -+          -           -
第2轮:  -+a         +           -
第3轮:  -+          a           a            a
第4轮:  -+*         +           a  
第5轮:  -+*b        *           a  
第6轮:  -+*         b           b            b 
第7轮:  -+*-        *           b
第8轮:  -+*-c       -           b
第9轮:  -+*-        c           c            c
第10轮: -+*-d       -           c
第11轮: -+*-        d           d            d
第12轮: -+*         -           -            -
第13轮: -+          *           *            *
第14轮: -           +           +            +
第15轮: -/          -           +            
第16轮: -/e         /           + 
第17轮: -/          e           e            e
第18轮: -/f         /           e            
第19轮: -/          f           f            f
第20轮: -           /           /            /
第21轮:             -           -            -

结果:abcd-*+ef/-
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1.6、按层遍历算法

function breadthTraversal(node) {
    if (node) {                             //判断二叉树是否为空
        var que = [node];                   //将二叉树放入队列
        while (que.length !== 0) {          //判断队列是否为空
            node = que.shift();             //从队列中取出一个结点
            document.getElementById('text').appendChild(document.createTextNode(node.value));   //将取出结点的值保存到数组
            if (node.left) que.push(node.left);   //如果存在左子树,将左子树放入队列
            if (node.right) que.push(node.right); //如果存在右子树,将右子树放入队列
        }
    }
}
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使用数组模拟队列,首先将根结点归入队列。当队列不为空时,执行循环:取出队列的一个结点,如果该节点有左子树,则将该节点的左子树存入队列;如果该节点有右子树,则将该节点的右子树存入队列。

二、算法题

1.1、二叉树的最大深度

给定一个二叉树,找出其最大深度。
二叉树的深度为根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。
比如下面这个二叉树,返回深度3。

    3
   / \
  9  20
    /  \
   15   7

const tree = {
    value: 3,
    left: {
        value: 9
    },
    right: {
        value: 20,
        left: { value: 15 },
        right: { value: 9 }
    }
}
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递归算法:递归算法的思路很简单,先拿到左子树最深层,再拿到右子树最深层,取他们最大值就是树的深度。

var maxDepth = function(root) {
  if (!root) {
    return 0;
  }
  const leftDeep = maxDepth(root.left) + 1;
  const rightDeep = maxDepth(root.right) + 1;
  return Math.max(leftDeep, rightDeep);
};
/*
maxDepth(root) = maxDepth(root.left) + 1  = 2
maxDepth(root.left) = maxDepth(root.left.left) + 1 = 1
maxDepth(root.left.left) = 0;

maxDepth(root) = maxDepth(root.right) + 1 = 3
maxDepth(root.right) = maxDepth(root.right.right) + 1 = 2
maxDepth(root.right.right) = maxDepth(root.right.right.right) + 1 = 1
maxDepth(root.right.right.right) = 0
*/
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1.2、二叉树的所有路径

给定一个二叉树,返回所有从根节点到叶子节点的路径。 比如:

    3
   / \
  9  20
    /  \
   15   7
 
返回:['3->9', '3->20->15', '3->20->7']
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使用递归的方法:

var binaryTreePaths = function(root) {
  if (!root) return [];
  const res = [];
  function dfs(curNode, curPath) {
    if(!curNode.left && !curNode.right) {
      res.push(curPath);
    }
    if(curNode.left) {
      dfs(curNode.left, `${curPath}->${curNode.left.value}`)
    }
    if(curNode.right) {
      dfs(curNode.right, `${curPath}->${curNode.right.value}`)
    }
  }
  dfs(root, `${root.value}`);
  return res;
};
复制代码
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