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课程：计算机组成原理、操作系统、计算机网络

进制运算的基础

进制概述

• 进位制是一种记数方式，亦称进位记数法或者位值计数法
• 有限种数字符号来表示无限的数值
• 使用的数字符号的数目称为这种进位制的基数或底数

二进制运算的基础

（整数）二进制转十进制：按权展开法

（整数）十进制转换成二进制：重复相除法

（小数）二进制转换成十进制：按权展开法

（小数）十进制转换成二进制：重复相乘法

有符号数与无符号数

原码表示法

• 使用0表示正数，使用1表示负数
• 规定符号位位于数值第一位
• 表达简单明了，是人类最容易理解的表示法

原码表示法的缺点

二进制的补码表示法

例子

引进补码的目的

• 减法运算复杂，希望找到使用正数替代负数的方法
• 使用加法替代减法操作，从而消除减法
• 但是计算补码的过程中，还是使用了减法

二进制的反码表示法

• 反码的目的是找出原码和补码之间的规律，消除转换过程中的减法

原码、补码、反码规律

定点数与浮点数

定点数的表示方法

• 小数点固定在某个位置的数称之为定点数

纯小数和纯整数

• 如果数字不是纯小数，也不是纯整数，则需要乘以比例因子以满足定点数保存格式

  

浮点数的表示方法

• 计算机处理的很大程度上不是纯小数或纯整数
• 数据范围很大，定点数难以表达且定点数不够灵活
• 因此需要学习了解浮点数

浮点数的表示格式

• S：尾数（尾数必须使用纯小数）
• r：基数
• j：阶码（阶码为二进制）

浮点数的表示范围

• 假设阶码数值取m位，尾数数值取n位
• 上溢：这个数绝对值太大了。浮点数无法表示
• 下溢：这个数绝对值太小了。浮点数无法表示
• 单精度浮点数：使用4字节、32位来表达浮点数（float）
• 双精度浮点数：使用8字节、64位来表达浮点数（double）

  

浮点数的规格化

• 尾数规定使用纯小数
• 尾数最高位必须是1

定点数与浮点数的对比

• 当定点数与浮点数位数相同时，浮点数表示的范围更大
• 当浮点数尾数为规格化数时，浮点数的精度更高
• 浮点数的运算包含阶码和尾数，浮点数的运算更为复杂
• 浮点数在数的表示范围、精度、溢出处理、编程等方面均优于定点数
• 定点数在数的运算规则、运算速度、硬件成本方面优于浮点数

定点数的加减法运算

加法操作

例子

判断溢出

• 双符号位判断法
  • 单符号位表示变成双符号：0=>00, 1=>11
  • 双符号位产生的进位丢弃
  • 结果的双符号位不同则表示溢出

    

减法操作

浮点数的加减法运算

对阶

• 对阶的目的是使得两个浮点数阶码一致，使得尾数可以进行运算
• 浮点数尾数运算简单
• 浮点数尾数实际小数位与阶码有关
• 阶码按小阶看齐大阶的原则

尾数求和（与定点数相同）

尾数规格化

• 对补码进行规格化需要判断两种情况：S>0和S<0

  

左移规格化

右移规格化

• 双符号位不一致下需要右移
• 右移的话则需要进行舍入操作
• 舍去1则需要加1，舍去的是0则不进行加1操作
• 定点运算双符号不一致为溢出，浮点运算尾数双符号位不一致不算溢出，因为可以进行右移规避
• 浮点运算主要通过阶码的双符号位判断是否溢出，如果规格化后，阶码双符号位不一致，则认为是溢出

浮点数的乘除法运算

运算过程

浮点数的乘法

浮点数的除法