P5490 【模板】扫描线

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【模板】扫描线
题目大意：在平面直角坐标系中求所给矩形面积的并

思路

一个矩形的面积=长*宽。
对于题目中所给的不规则图形，考虑把它们分成若干小矩形来计算面积。

如图，把两个相交的矩形用$P1\sim P4$四条线分为三块，分别求他们的面积得到答案。

如何计算一个小矩形的面积

首先记录下所有平行于$y$轴的边（平行于x轴也可以，这取决于扫描的方向）。

当扫描到一条边时，就可以计算扫过矩形的面积。维护当前这个矩形在延$y$轴方向上被矩形覆盖的长度$len$（也就是图中竖边的总长）。 记当前这条竖边与上一条竖边的横坐标之差为$k$。
$ans+=len\times k$。
原理就是$len$为竖边长度，$k$为横边长度。
$k$显然容易得到，可以在输入的时候维护一下所有边的横坐标pos，以$pos$为关键字排序后保证从左向右扫描。
该题的难度就在于动态维护$len$。

如何维护$len$

对$len$的维护，即区间修改（也就是每扫描到一个新边（进入一个新的矩形）都要维护该边所在区间的答案）与区间查询（查询当前扫描到的矩形延y轴的长度）。

总的来说，就是要用线段树来维护线段（而非点）。
红字表示线段树的区间。分别为第1~4条线段。

struct Tree{
	int fg,len;
}t[4*N];

一个线段树的结点记录当前线段是否被完全覆盖($fg$)和这一段上被矩形覆盖的长度($len$)。
假设有一条线，从$y$轴向右扫描，每当扫到一个新的边，有如下两种情况：

1. 扫到了一个矩形的左边（将要进入一个新的矩形）。
2. 扫到了一个矩形的右边（将要退出当前的矩形）。

每次扫到一个矩形的左边，就让对应线段的$fg++$，扫到矩形的右边，$fg--$。易证明$fg\geq0$。当$fg$为$0$时，当前区间没有被完全覆盖。否则就被完全覆盖。
如样例中第一个扫描到的竖边为$AB$，上下端点分别为$100，200$。由上图可知，实际维护的线段是(100~199)，则对 (100~199)这个区间进行维护。
继续扫描，扫到新边$A1B2$，则$ans+=t[1].len*(150-100)$。 这样扫描下去就可以获得最终答案。

对于一个结点p的修改，有如下两种情况：

1. $p$被完全覆盖($fg\neq0$)，也就是说当前的线段被完全包含于新扫描到的边，只需要用当前线段的右端点减去左端点即可。但是要记得，右端点是当前区间最右边线段的序号+1 这一点非常关键。
2. $p$没有被完全覆盖($fg==0$)，那么它的len就来自左右两个儿子，有$t[p].len=t[lc].len+t[rc].len$。

因为数据范围过大，需要对数据离散化。

代码如下

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define lc p<<1
#define rc p<<1|1
typedef long long ll;
using namespace std;
const int N=((1E5+10)*2);
ll n,raw[N],len[4*N],t[4*N];
ll ans;
inline ll read()
{
	ll ret=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9')ch=getchar();
	while(ch>='0' && ch<='9')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
	return ret; 
}
struct LINE{
	ll st,ed,hi,ud;		//ud -1:上边 1:下边 
}l[N];
void push_up(int p,int l,int r)
{
	if(t[p])len[p]=raw[r+1]-raw[l];
	else if(l==r)len[p]=0;
	else len[p]=len[lc]+len[rc];
}
void add(int p,int l,int r,int al,int ar,int val)
{
	if(al<=l && ar>=r)
	{
		t[p]+=val;
		push_up(p,l,r);
		return;
	}
	ll mid=(l+r)>>1;
	if(al<=mid)add(lc,l,mid,al,ar,val);
	if(ar>=mid+1)add(rc,mid+1,r,al,ar,val);
	push_up(p,l,r);
}
bool cmp(const LINE &a,const LINE &b)
{
	return a.hi<b.hi;
}
int main()
{
//	freopen("d.in","r",stdin);
	n=read();
	for(int i=1,x_,x__,y_,y__;i<=n;++i)
	{
		x_=read();y_=read();x__=read();y__=read();
		l[i]=(LINE){x_,x__,y_,1};
		l[i+n]=(LINE){x_,x__,y__,-1};
		raw[i]=x_;
		raw[i+n]=x__;
	}
	n<<=1;
	sort(raw+1,raw+n+1);
	ll nn=unique(raw+1,raw+n+1)-(raw+1);
	sort(l+1,l+n+1,cmp);
	for(int i=1;i<n;++i)
	{
//		cout<<l[i].st<<" "<<l[i].ed<<" ";
		ll lf=lower_bound(raw+1,raw+nn+1,l[i].st)-raw;
		ll rt=lower_bound(raw+1,raw+nn+1,l[i].ed)-raw;
//		cout<<lf<<" "<<rt-1<<" "<<l[i].ud<<" ";
		if(lf<rt)
		add(1,1,nn,lf,rt-1,l[i].ud);
		ans+=len[1]*(l[i+1].hi-l[i].hi);
//		cout<<len[1]<<endl;
	}
	cout<<ans<<endl;
}