定义：命题是一个要么为真要么为假的陈述（表达）。
举例，下面两个陈述句是命题。第一个为真，第二个为假。
命题 1.1.1. 2 + 3 = 5.
命题 1.1.2. 1 + 1 = 3.
是真是假看起来不算什么限制，但是将类似“你为什么是罗密欧？”和“给我一个A！”的表述给剔除了。它也将真假随着条件变化而改变的陈述给剔除了，比如“现在是五点钟”，或者“明天的股票市场会上涨”。
不幸的是，判断一个断言命题的真假并不总是那么容易：
断言 1.1.3. 对于每个非负整数n， n2+n+4n^2+n+4n2+n+4的值是素数。
(素数是一个不能够被大于1的任何其它整数除尽的整数。例如，2，3，5，7，11，是前五个素数。)让我们做一些数值实验去检验一下这个命题。使
p ( n ) : : = n 2 + + n + 4 1 . 1 ( 1 . 1 ) p(n)::=n^2++n+41.^1 (1.1)p(n)::=n2++n+41.1(1.1)我们从 p ( 0 ) = 4 1 p(0)=41p(0)=41 开始，这是素数；接下来：
p ( 1 ) = 4 3 , p ( 2 ) = 4 7 , p ( 3 ) = 5 3 . . . . . . p ( 2 0 ) = 4 6 1 p(1)=43,p(2)=47,p(3)=53......p(20)=461p(1)=43,p(2)=47,p(3)=53......p(20)=461每个都是素数。嗯嗯，开始看起来像一个貌似合理的断言。事实上我们可以继续检验直到n=39进而确认p(39)=1601是一个素数。
但是 p ( 4 0 ) = 4 0 2 + 4 0 + 4 1 = 4 1 ∗ 4 1 p(40)=40^2+40+41=41*41p(40)=402+40+41=41∗41，不是一个素数。因此断言 1.1.3是错误的，因为 p(n)不是对于所有非负整数n都成立。事实上，不难看出不存在带有整数系数的多项式能够将所有非负数映射到素数，除非它是一个常量（参照题目1.25）。但这个例子强调的点是：一般而言，你不能通过检验一个关于无限集合的断言元素的有限集合样本来检验它，无论该样本有多大。
顺便一提，像这种关于所有数字或者某些类别的所有元素的命题是如此的普遍以至于有一个特殊的符号代表它们。使用该符号，断言 1.1.3 会是
这里的符号 ∀ 读作“所有。”符号 N 代表了非负整数集合：0，1，2，3......(向你的导师要完整清单)。符号 ∈ 读作“成员之一”或者“属于”或者简单称作“在”。N 之后的句点只是短语之间的分隔符。
这里有两个更加极端的例子：
推测：欧拉方程
a 4 + b 4 + c 4 = d 4 a^4+b^4+c^4=d^4a4+b4+c4=d4当a,b,c为正整数时无解。
欧拉（念作”ailer“）在1769年推出这个等式。但是，218年后，在马萨诸塞大街上的文科学校，Noam Elkies证明了这个猜想是错误的。他发现的答案是a = 95800; b = 217519; c = 414560; d = 422481。
在逻辑符号中，欧拉的推论可以写成：
这里的 Z + Z^+Z+是正整数的符号。为了方便阅读，字符串 ∀ 通常简写为：
还有其它的推测是很难通过枚举证伪的：满足该等式的x，y，z的最小可能超过1000个数字！
假猜测： 3 1 3 ( x 3 + y 3 ) = z 3 313(x^3+y^3)=z^3313(x3+y3)=z3 无解，当 x ， y ， z ∈ Z + x，y，z∈Z^+x，y，z∈Z+ 。
值得一提的是一些更加著名的命题在最终被发现之前被探索了几个世纪：
命题 1.1.4（四色定理）
每张图可以用四种颜色为其着色，这样的话可以使得相邻区域 2 ^22 的颜色不同。
1 ^11 符号::=意思是”按照定义相等。“简写为”=”而不是::=总是可以的，但是提醒读者按照定义相等是有帮助的。
2 ^22 只有当两个区域共享正长度的边界段时，它们才算是相邻的。如果它们的边界仅在几个点相交，则不认为它们是相邻的。
