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在机器学习和深度学习中,很多时候需要进行分类,这时会涉及到决策边界,比如sigmod激活函数; 但是当面对多分类的时候(比如经典的MNIST),我们需要预测每一个种类output的概率,比如softmax,这时候我们需要对: 信息论和交叉熵有一个清晰的认识 那么我们的文章将会对 信息论和交叉熵损失函数 进行一个讲解;
1.信息论
1.1 信息论是从物理学中借鉴过来的,我们只讲其数学意义:
其实信息论是一种用来描述 概率分布或者蒋概率分布之间的相似性 的一种思想 信息论的核心思想就是用来表示 意外程度 ,即小概率事件发生的信息量大
- 1.必然事件的信息量为0
- 2.事件发生的概率越小,其提供的信息量就越大
- 3.信息是具有增量的特征的,即同一事件,发生一次的信息量是
,则重复投递两次的信息量是
那么为了实现我们的目的 将概率事件的信息量进行量化
2.自信息
就是单个事件的信息量的量化值
我们构建这样一个公式:
- 这里
就是随机事件
时候事件发生的概率
对数函数式增函数,那么
函数就是减函数,这样构建出来的函数就实现了我们的某种目的,随着概率的减小,信息量就越大 但是自信息仅能预测一个事件的信息量
的单位是奈特
,就是说1
概率的一个事件的自信息量
3.香农熵
往往在我们的实际应用中我们需要使用 香农熵 来对整个事件概率分布中的不确定性总量进行量化
在这里我们可以借鉴 随机变量X的数学期望的求值公式
这里的香农熵其实可以看做是: 信息量的数学期望的求值公式
- 这里k是类别,n代表总类别
下面我们举例说明:
-
数组1: 111111
-
数组2: 111222
-
数组3: 112233
我们来算数组1 ,2 和 3的香农熵
这样来看数组1的香农熵为0,则为必然事件,数组2居中,数组3最大,则其概率分布的概率最小
4.交叉熵
前面我们有讲到 自信息 和 香农熵
那么如何用到机器学习和深度学习中呢,不着急慢慢往下看
我们记得之前在多类别分类的模型中我们有用到 进行每个类别概率估计,然后取最大概率做为预测值
而当我们反向更新
为激活函数的模型或者神经网络时候,是将交叉熵做为
函数进行梯度调节的
那么让我们聚焦交叉熵
在这之前我们需要看下散列,这是基于香农熵用来衡量对于同一个随机变量X的两个单独分布
和
的差异的途径:
但是在深度学习中我们使用散列的变形,也就是交叉熵来作为某些场景的
函数,即:
根据散列我们队上述公式进行变形:
经过变形就得到:
接着,我们变化成易于理解的函数
到这里我们看到了我们熟悉的成本函数,回归分类器的成本函数
接着我们探讨为什么使用这个成本函数
主要是softmax等多分类器,在评估真实值()和预测值(
)距离时,更多的是在评估概率之间的距离,这样使用传统的均方根误差做为
函数毫无意义
我们来举个例子(以MNIST为例: 识别0~9的数字图片):
假设输出层是为激活函数:
那么我们假设用两组标签相同的实例 和
来进行分析
首先我们的
都是0,所以真实值得向量组合是(1,0,0,0,0,0,0,0,0,0)
- A的预测值向量组合(0.9,0.2,0.1,0,0,0,0,0,0,0)
- B的预测值向量组合(0.8,0,0.1,0,0.5,0,0,0,0,0)
接着算A和B的交叉熵(也就是函数) :
- P代表真实值
- Q代表预测值
因为
,所以明显第一组要由于第二组
补充一点:交叉熵
不是对称的,所以
所以要注意P和Q的顺序,一版情况下,P代表真实值,Q代表预测值
最近很热,大家谨防中暑,但是学习不能断 ^^
