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信息论和交叉熵损失函数

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在机器学习和深度学习中,很多时候需要进行分类,这时会涉及到决策边界,比如sigmod激活函数; 但是当面对多分类的时候(比如经典的MNIST),我们需要预测每一个种类output的概率,比如softmax,这时候我们需要对: 信息论和交叉熵有一个清晰的认识 那么我们的文章将会对 信息论和交叉熵损失函数 进行一个讲解;

1.信息论

2.自信息

3.香农熵

4.交叉熵

1.信息论

1.1 信息论是从物理学中借鉴过来的,我们只讲其数学意义:

其实信息论是一种用来描述 概率分布或者蒋概率分布之间的相似性 的一种思想 信息论的核心思想就是用来表示 意外程度 ,即小概率事件发生的信息量大

  • 1.必然事件的信息量为0
  • 2.事件发生的概率越小,其提供的信息量就越大
  • 3.信息是具有增量的特征的,即同一事件,发生一次的信息量是 I ,则重复投递两次的信息量是 2I 那么为了实现我们的目的 将概率事件的信息量进行量化

2.自信息

就是单个事件的信息量的量化值

我们构建这样一个公式:

I(x) = -log(p(x))
  • 这里P(x)就是随机事件 X = x 时候事件发生的概率
  • log对数函数式增函数,那么-log函数就是减函数,这样构建出来的函数就实现了我们的某种目的,随着概率的减小,信息量就越大 但是自信息仅能预测一个事件的信息量
  • I(x)的单位是奈特 nat,就是说1nat代表以1/e概率的一个事件的自信息量

3.香农熵

往往在我们的实际应用中我们需要使用 香农熵 来对整个事件概率分布中的不确定性总量进行量化

在这里我们可以借鉴 随机变量X的数学期望的求值公式

E(X) = \sum_{k = 1}^{∞}x_kp_k

这里的香农熵其实可以看做是: 信息量I(x)的数学期望的求值公式

H(X) = \sum_{k = 1}^{n}p_klog(p_k)
  • 这里k是类别,n代表总类别

下面我们举例说明:

  • 数组1: 111111

  • 数组2: 111222

  • 数组3: 112233

我们来算数组1 ,2 和 3的香农熵

H(1)=-1*log(p(1)) = 1 * 0= 0

H(2)=-1/2*log(p(1)) + (-1/2*log(p(2)) =  -1/2 * In1/2 +1/2 * In1/2  ≈  0.7

H(3)=-1/3*log(p(1)) + (-1/3*log(p(2)) +  (-1/3*log(p(3))  ≈ 1

这样来看数组1的香农熵为0,则为必然事件,数组2居中,数组3最大,则其概率分布的概率最小

4.交叉熵

前面我们有讲到 自信息香农熵 那么如何用到机器学习和深度学习中呢,不着急慢慢往下看 我们记得之前在多类别分类的模型中我们有用到 softmax 进行每个类别概率估计,然后取最大概率做为预测值 而当我们反向更新softmax为激活函数的模型或者神经网络时候,是将交叉熵做为loss函数进行梯度调节的

那么让我们聚焦交叉熵 在这之前我们需要看下KL散列,这是基于香农熵用来衡量对于同一个随机变量X的两个单独分布P(X)Q(X)的差异的途径:

D_{kl}(P||Q) = E_{x-p}[log(P(x)/Q(x))] = E_{x-p}[log(P(x))-log(P(x))]

但是在深度学习中我们使用KL散列的变形,也就是交叉熵来作为某些场景的loss函数,即:

H(P,Q) = H(P) + D_{KL}(P||Q)

根据KL散列我们队上述公式进行变形:

H(P,Q) = -E_{x-p}[logP(x)] + E_{x-p}[logP(x)] - E_{x-p}[logQ(x)]

经过变形就得到:

H(P,Q) =  - E_{x-p}[logQ(x)]

接着,我们变化成易于理解的loss函数

H(P,Q) =  \sum_{x}P(x)logQ(x)

到这里我们看到了我们熟悉的成本函数,softmax回归分类器的成本函数

接着我们探讨为什么使用这个成本函数

主要是softmax等多分类器,在评估真实值(y)和预测值(y^{excpt})距离时,更多的是在评估概率之间的距离,这样使用传统的均方根误差做为loss函数毫无意义

我们来举个例子(以MNIST为例: 识别0~9的数字图片): 假设输出层是softmax为激活函数:

那么我们假设用两组标签相同的实例 AB 来进行分析 首先我们的label都是0,所以真实值得向量组合是(1,0,0,0,0,0,0,0,0,0)

  • A的预测值向量组合(0.9,0.2,0.1,0,0,0,0,0,0,0)
  • B的预测值向量组合(0.8,0,0.1,0,0.5,0,0,0,0,0)

接着算A和B的交叉熵(也就是loss函数) :

H(P,Q) = -(1* log(0.9) + 0 * log(0.2) + 0 *log(0.1) + 7 * (0 * log(0)) ≈ 0.1
H(P,Q) = -(1* log(0.8) + 0 * log(0.1) + 0 *log(0.5) + 7 * (0 * log(0)) ≈ 0.2
  • P代表真实值
  • Q代表预测值 因为 0.1 < 0.2,所以明显第一组要由于第二组

补充一点:交叉熵H(P,Q)不是对称的,所以H(P,Q) ≠ H(Q,P)所以要注意P和Q的顺序,一版情况下,P代表真实值,Q代表预测值

最近很热,大家谨防中暑,但是学习不能断 ^^

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