数据的描述性统计

数据的集中趋势

概念：

寻找事物特征的数据集合的代表值或中心值，反映事物目前所处的位置和发展水平。通过对集中趋势指标的多次测量和比较，可以说明事物的发展和变化趋势。

算术平均数，主要用于定距数据^[1]，例如，人均收入。也能用于定类数据^[2]和定序数据^[3]，前提条件是是否具有现实意义，例如，平均分排名。

1.1 简单算术平均数，将数据集合的所有数据相加除以数据值个数得到。

$\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} +\ldots＋x_{ｎ}}{ｎ}$

1.2 加权算术平均数，当每个数据值的权重是不一样的，需要用加权算术值来表示数据集合的集中趋势

$m=\frac{f_{1}\bar{x_{1}}+f_{2}\bar{x_{2}}+\ldots+f_{k}\bar{x_{k}}}{f_{1}+f_{2}+\ldots+f_{k}}$

tips:

a. 简单算术平均数可以看成是加权算术平均数的特殊形式，代表每个数值的权重都为1。

b. 算术平均数的优点是受数据波动的影响最小，具有一定的稳定性，缺点是数据中有极大值或极小值存在是，会对结果产生很大影响
几何平均数，当数据关系是乘除关系的时候，就应该用几何平均值来表示数据集合的集中趋势。例如，银行的平均存款年利率，每条生产线的产品合格率

$\bar{{x}_j}=\sqrt[n]{{x}_1{x}_2 \ldots{x}_n}$
众数，数据集合中出现次数最多的数值，出现多个及并列最多，所有数据出现的次数相同则没有众数

例：当月卖的最多的手机型号
中位数，把数据集合中的所有数据按大小进行排序，取最中间的一位或两位的算术平均数（根据数据集合的奇偶个数来决定）。中位数相对于算术平均数的优点是不受个别极端值的影响

数据的离散程度

概念：

离散程度指标是用来显示一个数据集合离散程度，同类离散指标中数值越小，代表数据集合的波动越小，反之越大

极差，又被称为全距，是指数据集合中最大值与最小值的差值，表示整个数据集合能够覆盖的数值距离

$R=x_{max}-x_{min}$

例：描述气温的变化幅度
平均偏差，代表了所有数值与平均值的平均偏差距离(思考:这个值应该应该也可以是另外一个固定值，表示对某一个值的偏差)。平均偏差用绝对值的方式消除负号的影响。

$R_{a}=\frac{\sum_{i=1}^{n} \vert x_{i}-\bar{x}\vert}{n}$

例：产品质量控制中，可以衡量质量的稳定性
方差和标准差，另一种消除负号影响的方式是平方。方差利用平方克服了离差和等于0的问题，但同时也夸大了数据集合的离散程度。而标准差则是对方差取算术平方根，来消除平方带来的影响

总体的方差：

$\sigma^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_{i}-\mu)^2}{N}$

总体的标准差：

$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_{i}-\mu)^2}{N}}$
变异系数（离散系数），实质上是标准差相对于算术平均值的大小，适用于比较算术平均值不同的两个数据集合

总体的变异系数：

$V_{\sigma}=\frac{\sigma}{\mu}$
四分位极差，将数据按照大小，从低到高排序，比较四分之一位置和四分之三位置的两个数值得到的差值