简介
- 1.ECC英文全称"Ellipese Curve Cryptography" 与传统的基于大质数因子分解困难性的加密方法不同,ECC通过椭圆曲线方程式的性质产生密钥.
- 2.ECC164位的密钥产生一个安全级,相当于RSA 1024位密钥提供的保密强度,而且计算量级较小,处理速度更快,存储空间和传输带宽占用较小.目前我国 居民二代身份证正在使用256位的椭圆曲线密码,虚拟货币比特币也选择ECC作为加密算法.
- 3.椭圆曲线密码学,是一种建立公开密钥加密的算法,也就输非对称加密.类似的还有RSA,EIGamal算法等.ECC被公认为在给定密钥长度下最安全的加密算法.
公钥加密
公钥加密,也称非对称加密.是现代网络安全或者网络信任链的基础.公钥加密最大的特征就是通信双方各有一对公私钥,每个人保存自己的私钥,公开自己的公钥.这样做的好处是不怕通信线路被窃听,因为攻击者拿到公钥是无法解出密文的.公私钥的基本使用场景有两种: 假设通信双方叫Tom(公钥A,私钥a)和Bob(公钥B,私钥b).
- 1.公钥加密,私钥解密
- Tom写了一封信,她不想让别人知道,于是她用Bob的公钥B对信的明文做了加密,密文为m.之后发给了Bob.
- Bob收到密文m,用自己的私钥对密文解密,正确的读出了信的内容.
整个过程中,即使窃听者拿到密文m,两个人的公钥A,B都没什么用,无法解密出任何东西.事实上,只有拥有私钥b的人,才能解密出这份信息.换个角度来说,每个人都可以拥有Bob的公钥B,也就是说,每个人都可以创造一份只有Bob可以使用或者说只对Bob有效的信息.
- 2.私钥加密,公钥解密
- Tom写了一份公开声明文件,她用自己的私钥a对文件加了密,生成加密文件m,公布在自己的网站中.
- Bob下载了这份声明文件,并用Tom的公钥A进行解密,正确的读出文件内容.
这里主要的目的不是解密,而是对这份文件的来源验证,证明它肯定是由Tom发出的声明.即使文件被恶意篡改,那么此时再拿公钥A解密,就是无效的,由此可证明信息被改动过了,并不是Tom原来的文件.用这种方式使用公私钥可以证明信息的来源并且有不可否定的特性.
以上是使用公钥加密算法的基础场景，但事实上用上述方法进行通信还远远不够，例如需要提高加密速度，需要先对文件进行hash；再如不能抵御中间人攻击，（即获取的公钥不一定是正确的）需要引入证书.
椭圆曲线
- 1.一条椭圆曲线是在射影平面上满足威尔斯特拉斯方程(Weierstrass)所有点的集合:
- 椭圆曲线方程是一个齐次方程
- 曲线上的每个点都是非奇异的(光滑的),偏导数FX(X,Y,Z),FY(X,Y,Z),FZ(X,Y,Z)不同为0.
- 椭圆曲线的形状并不是椭圆的.只是因为椭圆曲线的描述方程,类似于计算一个椭圆周长的方程故得名.
一般来说，椭圆曲线可以用下列方程式表示，a,b,c,d为系数（a≠0，ax^3+bx^2+cx+d=0没有重根）
E:y^2=ax^3+bx^2+cx+d 例如，当a=1,b=0,c=-2,d=4时，所得到的椭圆曲线为：
E_1:y^2=x^3-2x+4 椭圆曲线下图所示。
椭圆曲线的加法
群是一种代数结构,由一个集合以及一个二元运算所组成,已知集合和运算(G,*)如果是群则必须满足如下要求:
- 封闭性: ∀a,b∈G，a * b ∈ G
- 综合性: ∀a,b,c∈G ，有 (a * b) * c = a * (b * c)
- 单位元: ョe∈G， ∀a ∈G，有e * a = a * e = a
- 逆元: ∀a ∈G ，ョb∈G 使得 a * b = b * a = e 有一种特殊的群叫阿贝尔群,它除了上面的性质还满足交换律公理: a * b = b * a 在整数范围内的加法运算就是一个阿贝尔群(Z,+).
- 封闭性: a和b是整数,那么a+b肯定是整数.
- 结合性: (a+b)+c = a + (b + c)
- 单位元: 0即为单位元,因为对于所有整数a, a + 0 = 0 + a = a.
- 逆元: a的逆元为-a,因为a + (-a)=0,即单位元. 所以(Z,+)是阿贝尔群.
定义椭圆曲线上的加法。 现在有椭圆曲线y^2 = x ^ 3 - x，曲线上的点P和Q。过P和Q做一条直线，交椭圆曲线为点R',再过R'点做垂直于X轴的直线，交曲线另一点为R，定义P + Q = R。如下图所示。
若P=Q,则为过P点的切线交于椭圆曲线为R'。如下图所示。
这样，称R = 2P。类似的，3P = P + P + P = P + 2P = P + R。也就是说，当给定点P时，“已知数x求点xG的运算”不难，因为有加法的性质，运算起来可以比较快。但反过来，“已知点xG求x的问题”则非常困难，因为只能遍历每一个x做运算。这就是椭圆曲线密码中所利用的“椭圆曲线上的离散对数问题”。
要想使这个运算满足阿贝尔群的性质，我们还要引入一个无穷远点O，可以把它理解为平行直线的交点（如果感觉难以理解，请参考无穷远点的定义），我们把这个O点作为单位元。（方便理解，你可以当做所有平行于y轴的直线交于O点）。
椭圆曲线上的加法为一个阿贝尔群
椭圆曲线上的离散对数问题
椭圆曲线密码利用了上述“运算”中的“椭圆曲线上的离散对数问题”的复杂度，就像RSA利用了“大数质因数分解”的复杂度，以及EIGamal密码的Diffie-Hellman密钥交换利用了“有限域上的离散对数问题”的复杂度一样
椭圆曲线上的离散对数问题： 已知 椭圆曲线E 椭圆曲线E上一点G（基点） 椭圆曲线E上的一点xG（x倍的G） 求解 x 这个问题的难度保证了椭圆曲线密码的安全性。
有限域上的椭圆曲线
椭圆曲线加密
考虑K=kG ，其中K、G为椭圆曲线Ep(a,b)上的点，n为G的阶（nG=O∞ ），k为小于n的整数。则给定k和G，根据加法法则，计算K很容易但反过来，给定K和G，求k就非常困难。因为实际使用中的ECC原则上把p取得相当大，n也相当大，要把n个解点逐一算出来列成上表是不可能的。这就是椭圆曲线加密算法的数学依据点G称为基点（base point）k（k<n）为私有密钥（privte key）K为公开密钥（public key)
ECC保密通信算法
1.Alice选定一条椭圆曲线E，并取椭圆曲线上一点作为基点G 假设选定E29(4,20)，基点G(13,23) , 基点G的阶数n=37
2.Alice选择一个私有密钥k（k<n），并生成公开密钥K=kG 比如25, K= kG = 25G = (14,6）
3.Alice将E和点K、G传给Bob
4.Bob收到信息后，将待传输的明文编码到上的一点M（编码方法略），并产生一个随机整数r（r<n,n为G的阶数） 假设r=6 要加密的信息为3,因为M也要在E29(4,20) 所以M=(3,28)
5.Bob计算点C1=M+rK和C2=rG C1= M+6K= M+625G=M+2G=(3,28)+(27,27)=(6,12) C2=6G=(5,7)
6.Bob将C1、C2传给Alice
7.Alice收到信息后，计算C1-kC2，结果就应该是点M C1-kC2 =(6,12)-25C2 =(6,12)-25*6G =(6,12)-2G =(6,12)-(27,27) =(6,12)+(27,2) =(3,28)
数学原来上能解密是因为:C1-kC2=M+rK-krG=M+rkG-krG-M
ECC技术要求
通常将Fp上的一条椭圆曲线描述为T=(p,a,b,G,n,h)p、a、b确定一条椭圆曲线（p为质数，(mod p)运算）G为基点，n为点G的阶，h是椭圆曲线上所有点的个数m与n相除的商的整数部分
参量选择要求：
p越大安全性越好，但会导致计算速度变慢 200-bit左右可满足一般安全要求 n应为质数 h≤4；p≠n×h ；pt≠1(mod n) (1≤t＜20) 4a3＋27b2≠0 (mod p)
ECC的应用
p = 0xFFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFE FFFFFC2F = 2^256 − 2^32 − 2^9 − 2^8 − 2^7 − 2^6 − 2^4 − 1
a = 0， b = 7
G=(0x79BE667EF9DCBBAC55A06295CE870B07029BFCDB2DCE28D959F2815B16F81798, 0x483ada7726a3c4655da4fbfc0e1108a8fd17b448a68554199c47d08ffb10d4b8)
n = 0xFFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFE BAAEDCE6 AF48A03B BFD25E8C D0364141
h = 01
ECC vs. RSA - 优缺点
优点
安全性能更高
160位ECC与1024位RSA、DSA有相同的安全强度
处理速度更快
在私钥的处理速度上，ECC远 比RSA、DSA快得多
带宽要求更低
存储空间更小
ECC的密钥尺寸和系统参数与RSA、DSA相比要小得多
缺点
设计困难，实现复杂
如果序列号设计过短，那么安全性并没有想象中的完善
参考资料：
