求向量的角度

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简单记录一个计算机图形学方面的算法。即计算 2D 平面中,从点 A 到点 B 形成的向量的夹角。这算是游戏里面比较底层的算法,一般游戏引擎都会包装好这个方法,如 GMS2 的 point_direction 方法。常用于实现旋转一个物体,比如拨动时钟的指针、人物的武器使用鼠标瞄准敌人。本文代码使用 JavaScript 实现。

问题描述

在线演示 democodepen.io/F-star/pen/…

如图,求这里朝上的白色虚线到红线的角度。

我们规定角度区间为 (-180, 180]。当向量朝上的时候,角度为0,向量正朝下时,角度为 180。当然你也可以规定为 [0, 360),只需要在代码得到的角度 angle 的基础上,计算 (angle + 360) % 360 即可。

另外要注意这里的坐标系的 y 轴是朝下的(一般计算机屏幕的坐标系都是y轴朝下的),x 轴朝向为右。

计算

已知中心点 cx、cy,光标的坐标 x,y,求角度。

说到底,求的是向量 a (x - cx, y - cy) 和向量 b (0, -1) 的夹角。这里我们需要用到 点积公式

我们要求的是角度,于是得到下面公式:

假设向量 a 为 (x, y), 向量 b 为 (x2, y2),则 a · bx * x2 + y * y2|a| 指的是向量 a 的模,即向量 a 的 x 和 y 平方和并开方,即 Math.sqrt(x * x + y * y)

通过公式,我们得到了余弦值 cos,然后反余弦 Math.acos(),得到弧度,再进行单位换算得到角度。

function calCos(a, b) {
    // 点积
    let dotProduct = a[0] * b[0] + a[1] * b[1];
    let d = Math.sqrt(a[0] * a[0] + a[1] * a[1]) * Math.sqrt(b[0] * b[0] + b[1] * b[1]);
    return dotProduct/d;
}
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let angle = Math.acos(radian) * 180 / Math.PI;
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我们先看看 余弦函数 和 反余弦函数的示意图:

由图中的反余弦函数可知,求得的角度范围为 [0, 180]。那 [-180, 0) 的范围如何获取呢?我们还有个办法,就是通过 判断光标的 x 坐标大于还是小于 中心点的 x 坐标 来设置正负,如果大于,角度为正;反之为负。

let angle = Math.acos(radian) * 180 / Math.PI;
if (x < cx) angle = -angle;
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完整代码

function calAngle(cx, cy, x, y) {
    const radian = getCosBy2pt(x, y, cx, cy);
    let angle = Math.acos(radian) * 180 / Math.PI;

    if (x < cx) angle = -angle;
    return angle;

    // 计算 点1指点2形成 的向量 
    function getCosBy2pt(x, y, cx, cy) {
        let a = [x - cx, y - cy];
        let b = [0, -1];
        return calCos(a, b);
    }
    function calCos(a, b) {
        // 点积
        let dotProduct = a[0] * b[0] + a[1] * b[1];
        let d = Math.sqrt(a[0] * a[0] + a[1] * a[1]) * Math.sqrt(b[0] * b[0] + b[1] * b[1]);
        return dotProduct/d;
    }
}
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演示

本人使用 svg 做了一个演示 demo 出来,使用了 svgjs 库。

codepen.io/F-star/pen/…

这里你会发现我这里有个 蓝色的弧线 表示了角度经过的路径,是不是很好玩,其实这个弧的绘制也是通过 点积公式 计算出中心点到光标的连线上的一个点的坐标来实现的。有兴趣你可以自己研究一下。

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