LeetCode70 —— 爬楼梯

题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？注意：给定 n 是一个正整数。示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶

示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

思路

每次可以爬 1 或 2 个台阶。当我们爬 4 个台阶时，就是爬 3 个台阶的方法数，加上爬 2 个台阶的方法数，等于 F(3) + F(2) = 3 + 2 = 5。所以当我们爬 N 个台阶，就有 F(N - 1) + F(N - 2) 种方法。

解决方案

方案一：暴力破解

我们可以用递归的方法得到所有小于N的方法数，并把它们相加得出结果。递归结束的标志为 N=1 或 N =2。

var climbStairs = function(n) {
    if (n == 1) return 1
    if (n == 2) return 2
    return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2)
};

时间复杂度 O( $2^n$ )。这种暴力解题的方法会超出时间限制，显然不是我们想要的。

方案二：优化暴力破解

从上一种方法我们可以发现，每一步的结果都做了上一步的重复计算。比如F(6) + F(5) 后会计算 F(5) + F(4)，F(5) 我们已经计算过了，就不要重复计算了。所以我们可以用一个数组来储存计算结果，方便重复利用。

var climbStairs = function(n) {
    let arr = []
    function climb(n) {
        if (n == 1) return 1
        if (n == 2) return 2
        if (arr[n] > 0) return arr[n]
        
        arr[n] = climb(n - 1) + climb(n - 2)
        return arr[n]
    }
    return climb(n)
};

时间复杂度 O(n)，优化之后提高了速度，已经不会超出时间限制了。

方案三：问题分解

和递归的思路一样，把一个大问题分解成多个小问题，只是这次我们使用循环的方式，减少内存的开销。

var climbStairs = function(n) {
    if (n == 1) return 1
    if (n == 2) return 2

    let arr = []
    arr[1] = 1
    arr[2] = 2
    for (let i = 3; i<= n; i++) {
        arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2]
    }
    return arr[n]
};

时间复杂度 O(n)，优化了内存的消耗，速度没有提升。

方案四：斐波那契数

从上一个方案我们可以看出这是一个斐波那契数列。

var climbStairs = function(n) {
    if (n == 1) return 1
    if (n == 2) return 2
    
    let first = 1
    let second = 2
    for (let i = 3; i<= n; i++) {
        let third = first + second
        first = second
        second = third
    }
    return second
};

时间复杂度 O(n)