算法之「克鲁斯克尔(Kruskal)算法」

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克鲁斯克尔算法

克鲁斯克尔算法(Kruskal's algorithm)跟普里姆算法一样,是一种用来查找最小生成树的算法,但算法的实现不一样,它是通过对权值从小到大顺序排列来查找最小生成树的。

克鲁斯克尔算法步骤

1.将原图中所有的边按权值从小到大排序。

2.从权值最小的边开始,如果这条边连接的两个节点于图中不在同一个已连接的边中,则记录该顶点为已选择。

3.重复步骤2,直至图中所有的节点都连通,就找到了连通图的最小生成树。

克鲁斯克尔算法时间复杂度

假如我们有 V 表示图中的顶点数,E 表示图中的边数。平均时间复杂度为 O(E \log V )

克鲁斯克尔算法示例

用克鲁斯克尔算法找到加权连通图的最小生成树。

通过对图中所有边的权值进行排序,得到 AD 边的权值最小为 5,并高亮标记。

然后下一条权值最小的边是 FH,权值为 6,并高亮标记。(注意不要构成环)

然后下一条权值最小的边有两条 AB 和 EH,权值为 7,我们任意选一条边 AB,并高亮标记。(注意不要构成环)

然后下一条权值最小的边是 EH,权值为 7,并高亮标记。(注意不要构成环)

然后下一条权值最小的边是 HG,权值为 8,并高亮标记。(注意不要构成环)

最后一条权值最小的边是 DE,权值为 9,并高亮标记。现在图中所有顶点都连接了,红色连接的边就是最小生成树,最小生成树的权值之和为 42。

注意:在权值相同的边,我们可以任意选择一条边,但选择的边不能跟以前的边构成环。如果当权值最小的边跟已选择的边构成了环,就跳过当前的边,继续下一条权值最小的边。

总结

克鲁斯克尔算法跟普里姆算法一样,是一种用来查找最小生成树的算法。

对比两个算法,克鲁斯卡尔算法主要是针对边来展开,边数少时效率会非常高,所以对于稀疏图有很大的优势;而普里姆算法对于稠密图,即边数非常多的情况会更好一些。

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