结论: 设是的Borel-域上可加的非负集函数, 其Fourier变换为
则在所有中的有界Borel集上取值都为零.
证明其实很简单. 取定一个, 使得它的支集包含在以远点为球心, 半径为1/4的球中, 且. 对于任何一个格点, 命. 则易见诸的支集不相交. 根据Paley-Weiner定理, 知的支集必定落在球内, 从而诸的支集不相交. 对于给定的, 命
显然空间中以0为球心, 为半径的球包含于每一个Borel集之中. 而根据的Fourier变换, 诸线性泛函在上按照是独立分布的. 所以,
其中 这里是一个跟有关的常数; 而是中模长不大于的格点的个数.
显然在趋于无穷时, . 根据集函数的可加性, 知其在空间中以0为球心, 为半径的球上取值必定为零. 由此就得到结论.
根据一般空间上Gauss测度的刻画, 具有命题中形式Fourier变换的集函数肯定不可能是可数可加的(它的积分核在高维情况下有奇点, 在一维情况下没有奇点但可积性太差). 为了具有这样的Fourier变换, 肯定要在其它方面付出一些代价.
所以, 在空间上构造Weiner测度类似物的企图, 恐怕都要失败. 这倒是不难从Weiner测度的性质猜出来: Weiner测度的支集可以认为是集中在连续函数空间上的. 关于抽象Weiner空间构造的Gross定理有几个精细的推论, 它们似乎也暗示了类似的结论.