关于Gauss测度的一个命题

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前一阵无意中发现了一件关于Gauss测度的有趣的事.

结论: 设\muL^2(\mathbb{R}^n)的Borel\sigma-域上可加的非负集函数, 其Fourier变换为

\hat{\mu}(f)=\exp\left(-\frac{1}{2}\langle f,(-\Delta+1)^{-1}f\rangle\right), f\in L^2(\mathbb{R}^n).

\mu在所有L^2(\mathbb{R}^n)中的有界Borel集上取值都为零.

证明其实很简单. 取定一个f\in C_0^\infty(\mathbb{R}^n), 使得它的支集包含在以远点为球心, 半径为1/4的球中, 且\|f\|_{L^2}=1. 对于任何一个格点k, 命f_k(x):=f(x+k). 则易见诸f_k的支集不相交. 根据Paley-Weiner定理, 知(-\Delta+1)^{-1}f_k的支集必定落在球B(k,1)内, 从而诸(-\Delta+1)^{-1}f_k的支集不相交. 对于给定的R>0, 命


C_k:=\{u\in L^2(\mathbb{R}^n):|\langle u,f_k\rangle|\leq R\}, D_m:=\bigcap_{|k|\leq m}C_k.

显然L^2(\mathbb{R}^n)空间中以0为球心, R为半径的球\mathcal{B}(0,R)包含于每一个Borel集D_m之中. 而根据\mu的Fourier变换, 诸线性泛函f_kL^2(\mathbb{R}^n)上按照\mu是独立分布的. 所以,

\mu(D_m)=q_R^{N(m)},

其中q_R=\sqrt{\frac{\pi}{c}}\int_{-R}^Re^{-ct^2}dt<1, 这里c是一个跟\|f\|_{L^2}有关的常数; 而N(m)\mathbb{R}^n中模长不大于m的格点的个数.

显然在m趋于无穷时, \mu(D_m)\rightarrow0. 根据集函数\mu的可加性, 知其在L^2(\mathbb{R}^n)空间中以0为球心, R为半径的球上取值必定为零. 由此就得到结论.

根据一般L^p空间上Gauss测度的刻画, 具有命题中形式Fourier变换的集函数肯定不可能是可数可加的(它的积分核在高维情况下有奇点, 在一维情况下没有奇点但可积性太差). 为了具有这样的Fourier变换, 肯定要在其它方面付出一些代价.

所以, 在L^p空间上构造Weiner测度类似物的企图, 恐怕都要失败. 这倒是不难从Weiner测度的性质猜出来: Weiner测度的支集可以认为是集中在连续函数空间上的. 关于抽象Weiner空间构造的Gross定理有几个精细的推论, 它们似乎也暗示了类似的结论.