和曲面相关的偏微分方程 (一)

这学期听 Teichmüller 理论的基础课, 借此机会终于有动力写一点相关的笔记, 总结已经学过的基础理论的线索. 课程从零开始讲 Riemann 曲面, 但我不打算从零开始写. 因为个人兴趣原因, 笔记的出发点多是偏微分方程, 而不会刻意遵照课程的叙述. 常常会发散得相当远.

第一部分: 复结构的存在性问题

这是个经典的老问题: 给定 $2n$ 维实微分流形 $M$ 上的一个近复结构 $J$ , 什么时候这个近复结构是由复结构诱导出来的?

注: 带有近复结构的微分流形都是可定向的. 只需要取一个不变 Riemann 度量并考虑其 Kähler 形式的幂即可看出这点.

容易看出如下事实: 给定的近复结构 $J$ 由某复结构诱导, 当且仅当在每一点的某邻域内都有局部实坐标 $\{x^1,x^2,...,x^{2n-1},x^{2n}\}$ , 使得 $J\partial_{x^{j}}=\partial_{x^{j+n}},\,J\partial_{x^{j+n}}=-\partial_{x^{j}}$ . 因为如果存在这样的局部坐标卡集, 则复坐标卡集 $\{x^1+\sqrt{-1}x^{n+1},...,x^{n}+\sqrt{-1}x^{2n}\}$ 之间的转换函数便适合 Cauchy-Riemann 方程组, 从而是全纯函数; 逆命题则显然成立. 于是, 问题归结为寻找这样的好坐标系, 或求解一些一阶线性微分方程组.

曲面情形: 解 Beltrami 方程

在 $M$ 是曲面的情形, 回答比较简单. 只需构造一个 $J$ -不变的 Riemann 度量 $g$ (这是很容易的), 而后证明存在 $(M,g)$ 的局部等温坐标. 实际上, 如果 $u=s+\sqrt{-1}t$ 是某一局部等温坐标的复形式, 则可写 $g=\sigma^2du\otimes d\bar{u}$ , 而 $J$ 是此度量下的正交变换, 于是在此局部坐标下有 $J^{-1}=J^T$ (局部矩阵表达式; 注意, 只有在等温坐标下才能这样计算). 再加上 $J^2=-1$ 和可定向条件, 便算出 $J$ 在此坐标系下必须等于标准的

$\quad\left( \begin{matrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{matrix} \right).$

这样的计算依赖于曲面为二维这一预设, 它表示如此构造的等温坐标系之间的转换函数是全纯的. 于是, 问题归结为证明: 对于任何给定的度量 $g$ , 都存在局部等温坐标.

设在某点 $p\in M$ 处有局部复坐标 $z=x+\sqrt{-1}y$ , 将点 $p$ 映射为平面上的原点. 可以通过凑完全平方而写 $g=\sigma^2|dz+\mu d\bar{z}|^2$ , 这里 $\sigma, \mu$ 皆是光滑函数, $\mu(0)=0$ . 如果 $u$ 是 Beltrami 方程 $\partial_{\bar{z}}u=\mu\partial_{{z}}u$ 在原点附近的光滑解, 且具有非零的梯度, 那么在 $p$ 的某更小的邻域上, $u$ 就是所求的等温复坐标.

在小圆盘 $B_r=B(0,r)$ 上考虑 Beltrami 方程. 固定一 $\alpha\in(0,1)$ . 定义积分算子

$\quad Tu:=\frac{1}{\pi}\int_{B_r}\frac{u(\zeta)}{z-\zeta}\frac{d\bar{\zeta}\wedge d\zeta}{2i},$

其中 $u\in C^\alpha(\bar{B}_r)$ . 它给出 $\partial_{\bar{z}}$ 的右逆. 这样, Beltrami 方程可以重写为 Banach 空间 $C^{1+\alpha}(\bar{B}_r)$ 上的方程

$\quad u=T(\mu\partial_z u)+f,$

其中 $f$ 在 $B_r$ 上全纯. 根据位势积分的标准理论, 加上 $\mu(0)=0$ , 容易算出

$\quad|T(\mu\partial_z u)|^{(r)}_{1+\alpha}\leq Cr^\alpha|u|^{(r)}_{1+\alpha},$

此处加权范数 $|u|^{(r)}_{1+\alpha}=|u|_{0;\bar{B}_r}+r|Du|_{0,\bar{B}_r}+r^{1+\alpha}[Du]_{\alpha;\bar{B}_r}$ , $C$ 仅与 $|\mu|_{0;\bar{B}_r}$ 和 $[\mu]_{\alpha;\bar{B}_r}$ 有关. 于是当 $r$ 充分小时, 对每个固定的全纯函数 $f$ , 根据压缩映像原理, 方程 $u=T(\mu\partial_z u)+f$ 在 $C^{1+\alpha}(\bar{B}_r)$ 中有唯一解; 若取 $f(z)=z$ , 则当 $r$ 充分小时, 即有 $|Du|>0$ . 椭圆微分方程的标准理论保证 $u\in C^\infty(B_r)$ . 这给出了原问题的解答.

在拟共形映射的理论中研究 Beltrami 方程时并不假定 $\mu$ 的连续性, 而只假定 $\|\mu\|_\infty<1$ . 这时就只能使用 Calderón-Zygmund 理论来处理方程了. 同样使用压缩映像原理, 可以得到方程的 $W^{1,p}$ 类解, 其中 $p$ 比 2 稍大一点 (取决于 $\|\mu\|_\infty$ 与 1 有多接近).

另外, Morrey 早期的一项工作考虑的是所谓的 $(K,K')$ -拟共形映射. 他通过估计 Morrey norm 证明了这类映射的 Hölder 连续性. 这可以用来处理一般的双变量椭圆微分方程.

作为推论, 可知可定向光滑曲面上的任何一个 Riemann 度量的共形等价类唯一确定了此曲面的一个复结构.

高维情形: Newlander-Nirenberg 定理

如果 $n>1$ , 即 $M$ 不是曲面, 那么情况要复杂一些.

注意到近复结构 $J$ 是 (1,1) 型张量场, 故可以作用到余切丛上. 在每一点 $p\in M$ 处, 复化切空间 $T_pM^\mathbb{C}$ 都可分解为相应于特征值 $\pm\sqrt{-1}$ 的两个子空间的直和. 根据连续性, 便可得到复化切丛的直和分解 $TM^\mathbb{C}=T^{(1,0)}M\oplus T^{(0,1)}M$ , 这里 $T^{(1,0)}$ 相应于特征值 $\sqrt{-1}$ , $T^{(0,1)}$ 相应于特征值 $-\sqrt{-1}$ . 仿此, 复化的微分形式丛 $A^rM^\mathbb{C}$ 也有直和分解

$\quad A^rM^\mathbb{C}=\bigoplus_{p+q=r}A^{(p,q)}M.$

外微分算子 $d$ 被投影成两个算子 $d':A^{(p,q)}\to A^{(p+1,q)}$ 和 $\bar d':A^{(p,q)}\to A^{(p,q+1)}$ .

近复结构 $J$ 称作是可积的, 假如 $T^{(1,0)}M$ 适合 Frobenius 条件. 由于 (1,0) 向量丛被 (0,1) 形式丛所零化, 这等价于 $\bar d'^2=0$ . 选定局部标架 $\{e_i,\bar e_i\}_{i=1}^n$ , 其中

$\quad e^i=(\delta^i_\mu+\sqrt{-1}J_\mu^i)\partial_{x^\mu},\bar e^i=(\delta^i_\mu-\sqrt{-1}J_\mu^i)\partial_{x^\mu}.$

这里希腊字母指标取值于 $1,...,2n$ , $x$ 是实局部坐标. 容易写出对应的余标架 $\theta^i,\bar\theta^i$ , 从而据此局部表达式直接计算可见: 可积性等价于近复结构 $J$ 的 Nijenhuis 张量为零. 若近复结构是由复结构诱导的, 那么对于局部全纯坐标 $z=(z^1,...z^n)$ , 显然 $T^{(1,0)}M$ 由 $\partial_{z^1},...,\partial_{z^n}$ 张成, 从而适合 Frobenius 条件. Newlander-Nirenberg 定理断言其逆命题也成立: 如果近复结构 $J$ 可积, 那么 $J$ 就是由复结构诱导的.

在高维情形, 这个定理是不平凡的. Newlander 和 Nirenberg 的原文仿照处理曲面情形的思路, 将问题归结为求解多圆盘上的方程 $\bar\partial u-a\partial u=0$ 的方程 (这里 $a$ 可以用近复结构 $J$ 表出). 他们试图给方程 $\bar\partial u=f$ 找到一个用积分来表征的解算子 $T$ (表达式来自 Dolbeault-Grothendieck 引理的归纳证明), 使得对 $Tf$ 及其导数有多圆盘上的一阶导数的某种 Hölder 估计, 而后仿照曲面情形使用压缩映像原理; 可积条件 (Nijenhuis 张量为零) 被用来说明压缩映像原理给出的积分-微分方程解正是原方程的解.

然而在多复变函数论中, 这种非齐次 Cauchy-Riemann 方程的解是由 Bochner-Martinelli-Koppelman 公式及其变形来表示的, 对于相应的解算子却并没有这样的估计 (似乎存在一些反例). 连 Calderón-Zygmund 型的不等式都无法完全保证解算子在边界上的正则

性. Newlander 和 Nirenberg 的原始论文似乎是有问题的!

Newlander-Nirenberg 定理的证明概要

应该参照 Morrey, Kohn 和 Hörmander 的思路来证明定理.

Step 1: 问题框架

不妨假定所论的就是开集 $\Omega\subset\mathbb{C}^n$ , 其上有一局部有上界的函数 $\varphi$ . 给定光滑的近复结构 $J\in C^\infty(\bar\Omega)$ 和 $\mathfrak{D}'(\Omega)$ 的子空间 $\mathfrak{F}$ , 显然可定义相应于此近复结构的 $\mathfrak{F}$ -值 $(p,q)$ 微分形式空间 $\mathfrak{F}_{(p,q)}(\Omega)$ . 对于函数 $f$ 和如前文定义的 $\bar e_i=(\delta_i^\mu-\sqrt{-1}J^\mu_i)\partial_{x^\mu}$ , 容易看出有 $\bar d'f=\bar{e}_i(f)\bar\theta^i$ , 这里的对偶余标架 $\bar\theta^i=1/2(\delta^i_\mu+\sqrt{-1}J_\mu^i)d{x^\mu}$ (当然要假定 $\Omega$ 可使得这些向量场/微分形式逐点线性无关). 显然可以借此把 $\bar d'$ 的定义扩展到 $\mathfrak{F}_{(p,q)}(\Omega)$ 上. 又固定一列上升至 1 的截断函数 $\eta_k\in C_0^\infty(\Omega)$ 和 Hermite 度量 $h=\Phi\delta_{ij}\theta^i\otimes \bar \theta^j$ , 使得 $|\bar d'\eta_k|_h\leq 1$ (这是容易做到的, 只要 $\Phi$ 在边界附近衰减得够快). 对于 $(p,q)$ 微分形式

$\quad f=\sum_{|I|=p,|K|=q}f_{I,K}\theta^I\wedge\bar\theta^K\in \mathfrak{F}_{(p,q)}(\Omega),$

定义相应于 Hermite 度量 $h$ 的 $L^2_{(p,q)}(\Omega,\varphi)$ -范数

$\quad\|f\|_\varphi^2:=\int_\Omega\sum_{|I|=p,|K|=q}|f_{I,K}|^2e^{-\varphi}dV_h.$

寻找局部全纯坐标等价于找到方程 $\bar d'u=0$ 的局部微分同胚解; 根据前面的推理, 已知一个可积条件 $\bar d'^2=0$ . 可以暂时先放宽正则性条件, 转而寻找 $L^2_{(0,0)}(\Omega,\varphi)$ 上的弱解; 找到弱解之后, 其正则性可以由标准理论得到. 故可将所论的空间放宽到 Hilbert 空间 $L^2_{(p,q)}(\Omega,\varphi)$ 上.

为此可先考虑一个一般的 Hilbert 空间序列 $T:H_1\to H_2,S:H_2\to H_3$ , 其中 $T,S$ 都是稠定闭算子, 且 $ST=0$ . 有下列初等命题: 若

$\quad \|f\|_2\leq\|T^*f\|_1+\|Sf\|_3,\,\forall f\in D_{T^*}\cap D_S,$

则算子 $T,S$ 都有闭值域, 且对 $f\in N_S$ , 方程 $Tu=f$ 存在解 $u$ 适合 $\|u\|_1\leq \|f\|_2$ .

回到原问题. 可尝试把这个模型实现为

$\quad T=\bar d':L^2_{(p,q-1)}(\Omega,\varphi)\to L^2_{(p,q)}(\Omega,\varphi),$

$\quad S=\bar d':L^2_{(p,q)}(\Omega,\varphi)\to L^2_{(p,q+1)}(\Omega,\varphi).$

$D(T),D(S)$ 都是按照分布导数的意义来理解的. 现在需要说明两点: $\bar d'$ 及其 (关于上述规定内积的) 对偶都是稠定且可闭化的; 对于 $(p,q)$ 微分形式 $f\in D_{T^*}\cap D_S$ , 成立先验估计 $\|f\|_\varphi\leq\|T^*f\|_\varphi+\|Sf\|_\varphi$ . 有趣的是, 虽然这初看上去是解析方面的命题, 实际上却和 $\Omega$ 的拓扑性质有所关联 (考虑一下 $\bar\partial$ -上同调即可直观地感受到这一点).

Step 2: 先验估计

为简单计, 假定权重 $\varphi\in C^2(\Omega)$ . 由于 $T^*$ 和 $S$ 都是一阶微分算子, 所以通过使用上一步定义的截断函数 $\eta_k$ 和磨光容易看出, $\mathfrak{D}_{(p,q)}(\Omega)$ 按图模 $\|f\|_\varphi+\|T^*f\|_\varphi+\|Sf\|_\varphi$ 在 $D_{T^*}\cap D_S$ 中稠密, 而且 $\mathfrak{D}_{(p,q-1)}(\Omega)$ 在 $D_T$ 中按图模 $\|f\|_\varphi+\|Tf\|_\varphi$ 稠密. 这表明 $T, T^*,S$ 都是闭算子. 由此可以看出引进 Hermite 度量 $h$ 的好处: 由于有了这个度量, 便只需要考虑紧支光滑微分形式了.

而后可以通过直接的计算来得到想要的先验估计. 由于不必考虑边界项, 所以计算来得简单了不少. 直接的计算给出: 对于 $f\in \mathfrak{D}_{(p,q)}(\Omega,\varphi)$ ,

$\quad Sf=\sum_{|I|=p,|K|=q}\sum_{i=1}^n\bar e_i(f_{IK})\bar\theta^i\wedge\theta^I\wedge\bar\theta^K+...,$

$\quad T^*f=(-1)^{p-1}\sum_{|I|=p,|K|=q}\sum_{i=1}^ne^\varphi e_i(e^{-\varphi}f_{IK})\bar\theta^i\wedge\theta^I\wedge\bar\theta^K+....$

省略号表示不对系数做微分的项 (这些项存在是因为未必有 $\bar d'\bar\theta^i=0$ ). 将上面两式中带微分的部分分别记作 $Af, Bf$ , 则显然当 $\text{supp} f\subset\text{supp}\eta_k$ 时有

$\quad\|Af\|_\varphi^2+\|Bf\|_\varphi^2\leq 2(\|Sf\|_\varphi^2+\|T^*f\|_\varphi^2)+C_k\|f\|_\varphi^2.$

据此通过乏味的计算, 得到一个最终的不等式: 记 $d'\bar d'\varphi=\varphi_{ij}\theta^i\wedge\bar\theta^j$ , 则存在一连续实函数 $c\in C(\Omega)$ 使得

$\quad\int_\Omega(\lambda-c)|f|_h^2e^{-\varphi}dV_h\leq 4(\|T^*f\|_\varphi^2+\|Sf\|_\varphi^2),$

其中 $\lambda$ 是 Hermite 方阵 $[\varphi_{ij}]$ 的最小特征值.

于是如果希望由此不等式导出想要的先验估计, 就至少得要求 $\varphi$ 是关于近复结构 $J$ 的多重次调和函数 (plurisubharmonic function), 即 $[\varphi_{ij}]$ 一致正定. 进一步地, 还得要求 $\Omega$ 是拟凸域 (pseuodoconvex domain), 亦即存在一个多重次调和函数 $\varphi$ 使得 $\{x:\varphi<x\}\Subset\Omega$ . 可以给 $\varphi$ 复合上一个增长足够快的凸函数 $\chi$ , 使得 $\chi'\circ\varphi>c+4$ , 这时 $\chi\circ\varphi$ 还是多重次调和函数. 重复上面的计算, 得先验估计 $\|f\|_{\chi(\varphi)}\leq\|T^*f\|_{\chi(\varphi)}+\|Sf\|_{\chi(\varphi)}$ . 于是得到了一个存在性定理:

设 $\Omega$ 是拟凸域, 则对于 $f\in L^2_{(p,q)}(\Omega,\text{loc})$ , 只要 $\bar d'f=0$ , 便有 $u\in L^2_{(p,q)}(\Omega,\text{loc})$ 使得 $\bar d'u=f$ . 对 $u$ 的积分估计可以通过上一段的办法得到.

另外, 简单的计算给出: 对于 $u\in C_0^\infty(\Omega)$ ,

$\quad\|Du\|^2_{L^2}\leq C\left(\|u\|^2_{L^2}+\sum_{i=1}^n\|\bar e^i(u)\|^2_{L^2}\right),$

这可以给出如下的 (标准的) 椭圆正则性结论: 若 $\bar d'u\in H^s_{(p,q)}(\Omega,\text{loc})$ , 则一定有 $u\in H^{s+1}_{(p,q-1)}(\Omega,\text{loc})$ . 由此当然可以得到拟凸域上的关于 $\bar\partial$ -上同调的结论.

Step 3: 证明终结

有了上面的存在性定理, 就可以来构造全纯坐标系了. 取 $\Omega=B_r(0)$ , 则容易验证 $1/(r^2-|x|^2)$ 是其上的多重次调和函数, 使得 $\Omega$ 成为拟凸域. 取 $\varphi$ 为 $1/(r^2-|x|^2)$ 与某个凸函数的复合. 通过适当的坐标变换, 不妨设

$\quad J(0)= \left( \begin{array}{cc} 0 &I_n\\ -I_n &0 \end{array} \right).$

取 $w^i=1/2(x^i+\sqrt{-1}x^{i+n})$ , 则在原点处 $dw^i=\theta^i$ . 考虑近复结构 $J(\varepsilon x)$ 和相应的余标架 $\theta^i_\varepsilon=1/2(\delta_\mu^i+\sqrt{-1}J_\mu^i(\varepsilon x))dx^\mu$ . 显然 $J(\varepsilon x)$ 也是可积的, 也可以定义相应的微分算子 $\bar d'_\varepsilon$ ; 又显然有 $D^m\bar d_\varepsilon'w^i=O(\varepsilon)$ (实际上很明显 $\bar d'_\varepsilon$ 收敛到 $\bar\partial$ ). 容易看出, 上面两步中所有先验估计对于 $\bar d'_\varepsilon$ 都一致地成立, 于是根据存在性定理, 有 $v^i_\varepsilon\in L^2(\Omega,\varphi)$ 使得 $\bar d'_\varepsilon v^i_\varepsilon=\bar d'_\varepsilon w^i$ , 且 $\|v_\varepsilon^i\|_\varphi\leq \|w^i\|_\varphi$ . 由对导数的估计得到实际上 $D^m v_\varepsilon^i=O(\varepsilon)$ . 由此, 只要 $\varepsilon$ 足够小, 由 $\tilde u^i:=w^i-v_\varepsilon^i$ 定义的变换的微分在原点处就线性无关, 而且有 $\bar d'_\varepsilon\tilde u^i=0$ . 显然 $u^i(x):=\tilde u^i(\varepsilon x)$ 便适合 $\bar d'u^i=0$ , 从而 $(u^1,...,u^n)$ 就是一个全纯坐标.