和曲面相关的偏微分方程 (二)

公告: 鉴于知乎公式编辑器实在难用, 自这一则笔记之后, 我决定移步超理论坛 (www.chaoli.club) 数学版继续更新. 后续的笔记链接会在专栏里同步更新.

这学期听 Teichmüller 理论的基础课, 借此机会终于有动力写一点相关的笔记, 总结已经学过的基础理论的线索. 课程从零开始讲 Riemann 曲面, 但我不打算从零开始写. 因为个人兴趣原因, 笔记的出发点多是偏微分方程, 而不会刻意遵照课程的叙述. 常常会发散得相当远.

第二部分: 高亏格曲面上曲率的共形形变

这一节笔记的内容比较简单: 高亏格曲面上曲率的共形形变. 最终的结论如下: 设 $M$ 是亏格不小于 2 的紧光滑曲面, 则 $M$ 上任何一个 Riemann 度量的共形等价类里都有且仅有一个曲率恒为 -1 的度量.

这样一来, 曲面 $M$ 上的复结构同其上的双曲度量之间存在一一对应. 实际上, 如果两个双曲度量 $g_1$ , $g_2$ 诱导了同一个复结构, 则相应的局部等温坐标 $z_1,z_2$ 都是局部全纯坐标, 因此 $\partial_{\bar z_1}$ 同 $\partial_{\bar z_2}$ 线性相关. 这表示 $g_1$ , $g_2$ 相互共形, 从而相等. 这可以作为研究曲面复结构形变的基础.

问题是这样转化的: 如果 $g$ 是 $M$ 上的度量, 现在要做的就是找到一个 $u\in C^\infty(M)$ 使得度量 $e^{2u}g$ 的标量曲率恒为 -1. 设 $g$ 的标量曲率是 $R$ , $e^{2u}g$ 的标量曲率是 $K$ , 则直接计算可得

$\quad2\Delta u+Ke^{2u}-R=0.$

这里 $\Delta$ 是相应于 $g$ 的 Laplacian. 问题归结为研究 $M$ 上的这个半线性椭圆微分方程. Kazdan 和 Warner 的方法是构造上解和下解 (upper and lower solutions).

引理. 设 $M$ 是紧 Riemann 流形. 考虑其上的微分方程 $\Delta u=f(x,u)$ , 这里 $f:M\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 是光滑函数. 如果存在 $u^-,u^+\in C^2(M)$ 使得 $u^-\leq u^+$ , $\Delta u^-+f(x,u^-)\geq0$ , $\Delta u^++f(x,u^+)\leq0$ , 则存在解 $u\in C^\infty(M)$ 满足 $u^-\leq u\leq u^+$ .

证明很简单. 设 $u^{\pm}$ 的值域包含于 $[-a,a]$ , 命 $c>0$ 足够大使得 $f(x,z)+cz$ 在 $[-a,a]$ 上对于 $z$ 是单调上升的. 命 $L=-\Delta+c$ . 定义两个迭代序列 $\quad u^-_k=L^{-1}[f(x,u^-_{k-1})+cu^-_{k-1}], u^-_0=u^-,$ $\quad u^+_k=L^{-1}[f(x,u^+_{k-1})+cu^+_{k-1}], u^+_0=u^+.$

容易算出

$\quad Lu^{-}_0\leq f(x,u_0^-)+cu_0^-=Lu_1^-,$

$\quad Lu^{+}_0\geq f(x,u_0^+)+cu_0^+=Lu_1^+.$

极值原理给出 $u_0^-\leq u_1^-$ , $u_1^+\leq u_0^+$ . 又 $f(x,u_0^-)+cu_0^-\leq f(x,u_0^+)+cu_0^+$ , 因此 $u_0^-\leq u_1^-\leq u_0^+\leq u_1^+$ . 如此续行得到 $u_k^-\leq u_{k+1}^-\leq u_{k+1}^+\leq u_k^+$ . 于是有逐点极限 $u_k^-\to u^-_\infty$ , $u_k^+\to u^+_\infty$ , 而由有界性知道这实际上也是 $L^p$ 极限. 取 $p>\text{dim}M$ , 于是根据椭圆正则性有如下推理: $Lu_\infty^\pm=f(x,u_\infty^\pm)+cu_\infty^\pm$ , 从而 $\Delta u_\infty^\pm=f(x,u_\infty^\pm)$ 在 $L^p$ 意义下成立, 从而在古典意义下成立. $u_\infty^\pm$ 因而给出方程的光滑解.

根据这个引理, 对于高亏格曲面上的方程 $2\Delta u+Ke^{2u}-R=0$ , 为了找到解, 只需要构造出上解和下解. Kazdan 和 Warner 断言: 如果 $K$ 的均值为负, 那么就可以找到上解和下解.

在这个条件下, 上解是这样构造的: 设 $f$ 是 Poisson 方程 $\Delta f=K_0-K$ 的均值为零的解, 其中 $K_0<0$ 是 $K$ 的均值; 令 $u_+={af+b}$ , 其中 $a>0$ 充分大使得 $aK_0<R$ , 而后 $b>0$ 充分大使得 $a<e^{2(af+b)}$ . 则

$\quad\Delta u^+-R+Ke^{2u^+}=(aK_0-R)+(e^{2(af+b)}-a)K<0.$

在这之后, 又取 $h$ 为 Poisson 方程 $\Delta h=R-R_0$ 的均值为零的解, 其中 $R_0<0$ 是 $R$ 的均值 (由 Gauss-Bonnet 定理, $R_0=4\pi\chi(M)\cdot\text{Vol}_g(M)^{-1}<0$ ). 命 $u^-=h-c$ , 其中 $c>0$ 充分大而使得 $h-c<u^+$ , 而且

$\quad\Delta u^--R+Ke^{2u^-}=-R_0+Ke^{2h-2c}>0.$

这样就有了上解和下解.

于是存在 $u\in C^\infty(M)$ 使得 $e^{2u}g$ 具有常曲率 -1. 这样的函数的唯一性很容易根据极大值原理得到. 假如 $v$ 是另一个这样的函数, 则 $u-v$ 适合于

$\quad\Delta (u-v)-e^{2v}q(u-v)\cdot(u-v)=0,$

其中 $q(z)=(e^{2z}-1)/z$ . 如果 $u-v$ 能取得正的极大值, 则在这样的极大值点处必有 $\Delta(u-v)\leq0$ , 同时 $e^{2v}q(u-v)\cdot(u-v)>0$ , 矛盾. 从而必有 $u\leq v$ . 同理得 $v\leq u$ , 即 $u=v$ .

这表示 $g$ 的共形等价类里只能有一个曲率恒为 -1 的度量.

参考文献:

[1] Kazdan, J. L., & Warner, F. W. (1974). Curvature functions for compact 2-manifolds. Annals of Mathematics, 14-47.