毕业设计概要

本文补全了N. Makarov和S. Smirnov在[2]中给出的关于带质量调和函数探路(massive harmonic explorer, MHE)模型的计算. MHE是一个定义在正六边形网格上的随机游走模型, 它是[5]中提出的调和函数探路(harmonic explorer, HE)模型的推广. 在这个模型中, 样本轨道转向下一节点的概率由试探轨道触及网格区域边界的概率确定. 同[5]中的HE 模型不同的是, MHE 模型的试探轨道中引入了一个失踪率(killing rate) $k$ . 在这里 $0\leq k<1$ , 当 $k=0$ 时MHE模型即退化为HE 模型. 失踪率导致MHE模型失去了HE 模型所具有的一系列较好的性质.

目前已经清楚: 有许多二维格点上定义的随机游走模型存在分布意义下的连续极限, 且连续极限所对应的随机游走的样本轨道可以按如下方式加以刻画: 将样本轨道视为某个单连通平面区域上的一道随机的裂纹, 则这道裂纹的形状由下述随机化的Loewner 演化方程来描述:

$\frac{\partial g_t(z)}{\partial t} = \frac{2}{g_t(z)-\xi_t},$

其中 $t$ 是裂纹的参数, $g_t$ 是裂纹区域到上半平面的标准Riemann映照, 而Loewner演化方程的动力项 $\xi_t=\sqrt{\kappa}B_t$ 是经尺度变换的标准一维Brown运动. 这类随机化的Loewner演化方程就是所谓的 $\mathrm{SLE}(\kappa)$ , 即参数为 $\kappa$ 的Schramm-Loewner演化方程(Schramm-Loewner evolution). 它是O. Schramm 在[4]之中研究无圈随机游走(loop-erased random walk, LERW)或泛张成树(uniform spanning tree)的连续极限时首先提出的.

通过D. Chelkak, A. Kemppainen, G. Lawler, O. Schramm和S. Smirnov等人的工作, 现在已经可以确定以 $\mathrm{SLE}(\kappa)$ 为连续极限的格点随机游走模型包括调和函数探路模型( $\kappa=4$ ), Ising临界面(Ising interface)模型( $\kappa=3$ ), 渗漏(percolation)模型( $\kappa=6$ ), 无圈随机游走或泛张成树模型( $\kappa=2$ ), 等等. 根据Smirnov 在综述[6]中的总结, 这类模型具有一些共同的特点. 可以将这些特点总结如下. 假设 $D^\delta$ 是一个尺度为 $\delta$ 的格点区域, 其上定义了一个随机游走 $\gamma^\delta(t)$ . 这里时间参数 $t$ 经过重参数化, 使得割去样本轨道的区域 $D^\delta_t=D^\delta\setminus\gamma^\delta[0,t]$ 可以由某个随机化的Loewner演化方程

$\frac{\partial g_t(z)}{\partial t} = \frac{2}{g_t(z)-\xi^\delta_t}$

来描述. 设 $0\equiv \tau^\delta_0<\tau^\delta_1<\tau^\delta_2<...$ 为停时序列, 使得 $\gamma^\delta(\tau_k^\delta)$ 恰为格点 $D^\delta$ 中的某一节点, 亦即 $0\equiv \tau^\delta_0<\tau^\delta_1<\tau^\delta_2<...$ 恰为在样本轨道延伸至节点时停止的停时序列. Smirnov 发现, 之前研究的几类模型具有这样一个共同特点: 在每一个离散网格 $D_{\tau_k}^\delta$ 上, 都存在一个定义在节点上的函数 $M_{\tau_k}^\delta$ , 它是某个离散Laplace方程边值问题

$\Delta^\delta M_{\tau_k}^\delta =0\,\,\mathrm{in}\,\,D_{\tau_k}^\delta,\,\,\mathcal{B}_t^\delta M_{\tau_k}^\delta=0\,\,\mathrm{on}\,\,\partial D_{\tau_k}^\delta$

的解(其中 $\Delta^\delta$ 是网格 $D_{\tau_k}^\delta$ 上的离散Laplace算子), 且对于每个固定的节点 $z$ , 离散时间随机过程 $M_{\tau_k}^\delta(z)$ 都是鞅; 进一步地, 当网格的尺度 $\delta\rightarrow0$ 时, 动力项 $\xi_t^\delta$ (作为随机过程)按照分布收敛到某个极限 $\xi_t$ , 而函数 $M_{\tau_k}^\delta$ 在 $D$ 中(按照一定的意义)收敛于某个函数 $M_t$ , 它是某个通常以一下的Laplace 方程边值问题

$\Delta M_t =0\,\,\mathrm{in}\,\,D_{t},\,\,\mathcal{B}_t M_t^\delta=0\,\,\mathrm{on}\,\,\partial D_t$

的解(这里 $D_t$ 是动力 $\xi_t$ 所对应的Loewner演化方程所确定的区域), 且对于每个固定的点 $z$ , 随机过程 $M_t(z)$ 都是鞅. Smirnov将这个连续时间鞅称作可观测鞅变量(martingale observable, MO). Smirnov 注意到, 可以据此直接确认动力项是经过尺度变换的Brwon运动. 实际上, 通过鞅性质

$\mathbb{E}[M_t|\gamma[0,s]]=M_s$

以及对调和函数 $z\rightarrow M_t(z)$ 的某种基于共形不变性的渐近展开, Smirnov可以确认动力项适合Levy定理的条件. 通过这个一般化的思路, 可以确定相当多的格点随机游走模型以 $\mathrm{SLE}(\kappa)$ 为连续极限.

在[2]中, Makarov和Smirnov尝试将上述思路推广至更宽泛的所谓"带质量"(massive)的格点模型. 通常这表示在原有的格点模型中引进所谓的质量参数, 使得对应的鞅变量 $M_{\tau_k}^\delta$ 不再是离散调和函数, 而是适合下列的离散Helmholtz方程:

$(-\Delta^\delta+m^2) M_{\tau_k}^\delta =0\,\,\mathrm{in}\,\,D_{\tau_k}^\delta,\,\,\mathcal{B}_t^\delta M_{\tau_k}^\delta=0\,\,\mathrm{on}\,\,\partial D_{\tau_k}^\delta.$

这就是"带质量"这一术语的由来. 对于MHE模型, 这个质量参数就是失踪率$k$, 它与质量$m$的关系是 $m^2=k/(1-k)$ . 在引入质量参数之后, 研究模型的连续极限立即出现了一系列问题. 首先, 证明连续极限的存在性较无质量情形更为困难. 其次, 鞅变量 $M_{\tau_k}^\delta$ 的连续极限即便能够存在, 也只能是Helmholtz方程的解, 因而丧失了无质量情形下鞅变量的共形不变性. 在这种情况下, 不能借助共形不变性来确认连续极限情形下Loe}wner演化方程的动力项.

尽管在存在性方面有着一系列困难, Makarov和Smirnov还是在承认存在性的前提下改进了针对无质量情形的方法, 从而形式地算出了带质量情形下的动力项的形状. 对于MHE模型这一具体情形, 他们提出了如下的命题:

当网格的尺度趋于零时, MHE模型的概率测度依照分布收敛于某个连续极限, 此极限对应一个随机化的Loewner演化 $g_t$ , 其动力项 $\xi_t$ 是一个半鞅:

$\xi_t=2B_t+\lambda_t,$

这里 $B_t$ 是一维Brwon运动, 而有界变差部分 $\lambda_t$ 满足

$d\lambda_t=\frac{2m^2}{\pi}\left(\int_{D_t}\left[(\alpha-1)+\frac{2}{\pi}\arg(g_t(z)-\xi_t)\right]P_t^{(m)}(z)\frac{dz\wedge d\bar{z}}{2i}\right)dt.$

这里, 函数 $P_t^{(m)}$ 定义如下:

$P_t^{(0)}(z)=\mathrm{Im}\left[\frac{1}{g_t(z)-\xi_t}\right],$ $P_t^{(m)}(z):=P_t^{(0)}(z)-m^2(\mathfrak{G}_t^{(m)}P_t^{(0)})(z),$

其中 $\mathfrak{G}_t^{(m)}$ 是区域 $D_t$ 上 $-\Delta+m^2$ 的Dirichlet边值问题的Green算子. 进一步地, 这个极限测度对SLE(4)是绝对连续的.

Makarov和Smirnov的计算都是形式的, 他们假定了连续极限的存在性, 假定了动力项是半鞅(实际上他们甚至假定了它的鞅部分是Brwon运动), 也假定了函数是良定义的, 而并没有给出严格的分析证明.

本文对Makarov和Smirnov的形式计算给出了严格的证明. 对于当尺度趋于零时连续极限的存在性, 本文参考了Kemppainen和Smirnov在[1]中给出的胎紧性判定原则, 来证明MHE 模型的概率测度具有弱紧性. 在此基础之上, 本文证明了函数 $P_t^{(m)}$ 是良定义的, 据此证明了动力项是半鞅, 并通过伊藤公式和Smirnov 的可观测鞅变量方法严格证明了上述表达式成立.

参考文献:

[1] Kemppainen A., Smirnov S., Random Curves, Scaling Limits and Loewner Evolutions,

The Annals of Probability 2017, Vol. 45, No. 2, 698–779.

[2] Makarov N., Smirnov S., Off-Critical Lattice Models and Massive SLEs,

arXiv:0909.5377.

[3] Rohde S., Schramm O., Basic Properties of SLE, Annals of Mathematics, 161 (2005),

883–924.

[4] Schramm O., Scaling Limits of Loop-erased Random Walks and Uniform Spanning Trees, Israel Journal of Mathematics, 2000, 118(1): 221-288.

[5] Schramm O., Sheffield S., The Harmonic Explorer and its Convergence to SLE4, The

Annals of Probability, 2005, Vol. 33, No. 6, 2127–2148.

[6] Smirnov S., Towards Conformal Invariance of 2D Lattice Models, arXiv: 0708.0032.