重积分换元公式与面积公式一般的数学分析课本里并不会给出重积分换元公式的完整证明, 因为完整的证明确实并不容易. 这里尝试

一般的数学分析课本里并不会给出重积分换元公式的完整证明, 因为完整的证明确实并不容易. 这里尝试给出证明, 并且附上适当的直观解释.

这个公式有一个简单的直观推演. 设 $U\subset\mathbb{R}^n$ 是开集, $f$ 是其上定义的 $C^1$ 微分同胚. 将 $f$ 的微分记为 $J_f$ (并且视之为矩阵值函数), 而Jacobi行列式的绝对值记为 $|J_f|$ . 现在希望计算 $|f(U)|$ , 即像集合 $f(U)$ 的测度. 为此, 将 $U$ “近似”地“分割”成一系列很小的方块 $Q_1,...,Q_m$ , 并设其中心为 $x_1,...,x_m$ . 则在 $Q_i$ 上, 当然有 $f(x)\approx f(x_i)+J_f(x_i)(x-x_i)$ , 从而应当可以期望

$|f(Q_i)|\approx|J_f(x_i)||Q_i|$ .

对 $i$ 求和, 则应有近似等式

$|f(U)|\approx\sum_{i=1}^m|f(Q_i)|\approx\sum_{i=1}^m|J_f(x_i)||Q_i|\approx\int_U|J_f(x)|dx$ .

如果上面的约等于号实际上都是等号, 那么简单的微积分就足够给出换元公式了:

$\int_{f(U)}g(y)dy=\int_U(g\circ f)(x)J_f(x)dx$ .

问题在于, 怎么从线性的 $f(x)\approx f(x_i)+J_f(x_i)(x-x_i)$ 过渡到测度的 $|f(Q_i)|\approx|J_f(x_i)||Q_i|$ ?前一个近似等式表示映射 $x\rightarrow x_i+J_f(x_i)(x-x_i)$ 同 $f$ 的像在距离的意义下很接近, 而后一个则要求从此过渡到测度意义下的接近. 这就要求对映射进行更加细致的研究了.

(一)最简单的情形: 微分同胚

依旧假定 $U\subset\mathbb{R}^n$ 是开集, $f: U\rightarrow f(U)$ 是 $C^1$ 微分同胚. 则的确成立

$|f(U)|=\int_U|J_f(x)|dx$ .

根据基本的实分析知识, 只需要证明, 对于任何闭方块 $Q\subset U$ , 均有

$|f(Q)|=\int_Q|J_f(x)|dx$

就够了.

记 $r(x,y)=f(y)-f(x)-J_f(x)(y-x)$ . 现在固定一个 $\varepsilon>0$ , 选取 $\delta$ 使得对于 $x,y\in Q$ , 只要 $|x-y|<\delta$ , 就有 $|r(x,y)|<\varepsilon|x-y|$ . 根据 $f$ 属 $C^1$ 类的假定, 这总能办得到. 换句话说, 现在要求 $f$ 在 $Q$ 上能够被其一级近似“一致地”逼近. 现在将 $Q$ 分割成一系列全同的直径小于 $\delta/2$ 的方块 $Q_1,...,Q_m$ , 并依旧将它们的中心写为 $x_1,...,x_m$ .

可以证明如下的逼近引理: 如果 $|J_f(x_i)|>\sqrt{\varepsilon}$ , 则有

$\left(1-\sqrt\varepsilon\right)J_f(x_i)(Q_i)\subset f(Q_i)\subset J_f(Q_i)+B_{\varepsilon\delta}(x_i)$ ,

即 $f(Q_i)$ 包含了中心在 $f(x_i)$ 而边长为 $J_f(x_i)(Q_i)$ 的边长 $\left(1-\sqrt\varepsilon\right)$ 倍的平行六面体, 同时又被包含在平行六面体 $J_f(Q_i)$ 的 $\varepsilon\delta$ 邻域之中. 换句话说, 如果导数 $J_f(x_i)$ "足够可逆", 那么在 $Q_i$ 上, $f$ 同其一级近似确实是“非常接近”的(不仅在距离的意义下接近, 实际上二者的像集也差得不多). 这是证明换元公式的最重要的一步.

现在来证明引理. 根据定义, 包含关系 $f(Q_i)\subset J_f(Q_i)+B_{\varepsilon\delta}(x_i)$ 是显然的. 需要证明另一个包含关系. 可以选择 $\delta$ 如此之小, 以至于对所有 $x\in Q_i$ , 都有

$\|\mathrm{id}-J_f(x_i)^{-1}\circ J_f(x)\|<1/2$ .

固定一个 $y\in Q_i$ , 来研究方程

$f(x)=f(x_i)+J_f(x_i)(y-x_i)$ .

它等价于

$\Phi(x)=x$ ,

这里 $\Phi(x)=x-J_f(x_i)^{-1}[f(x)]+J_f(x_i)^{-1}[f(x_i)+J_f(x_i)(y-x_i)]$ . 根据有限增量定理, 易见映射 $\Phi$ 具有Lipchitz常数1/2. 进一步的简单计算表明, 对于 $x\in Q_i$ , 有

$|\Phi(x)-y|<\sqrt{\varepsilon}|x-x_i|$ ,

从而只要 $y\in (1-\sqrt{\varepsilon})Q_i$ , $\Phi$ 便将 $Q_i$ 映入自身, 所以是压缩映射, 故在 $Q_i$ 中存在唯一的不动点. 这就证明了 $\left(1-\sqrt\varepsilon\right)J_f(x_i)(Q_i)\subset f(Q_i)$ . 引理证明完毕.

现在来估计误差

$\left(\sum_{i=1}^m|J_f(x_i)||Q_i|\right)-|f(Q)|=\sum_{i=1}^m\left(|J_f(x_i)||Q_i|-f(Q_i)\right)$ .

对每一个 $i$ , 如果 $|J_f(x_i)|\leq\varepsilon$ , 则可直接算得 $||J_f(x_i)||Q_i|-f(Q_i)|<C_n|Q_i|\varepsilon$ . 若 $|J_f(x_i)|>\varepsilon$ , 则使用引理中的包含关系, 可得到

$|J_f(x_i)|Q_i|-f(Q_i)|\leq |[J_f(x_i)Q_i+B_{\varepsilon\delta}]\setminus[(1-\sqrt{\varepsilon})J_f(x_i)Q_i]|<C_n|Q_i|\varepsilon$ .

这样, 只需要令分割 $Q=\bigcup_{i=1}^mQ_i$ 的直径趋于零, 就得到了所需要的结论.

(二)一个较难的推广: 面积公式

几何测度论中的面积公式是对重积分换元公式的一个比较难的推广. 它的叙述如下:

设 $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^{n+k}$ 是Lipschitz映射, $A\subset\mathbb{R}^n,B\subset\mathbb{R}^{n+k}$ 是可测集. 则成立公式

$\int_{A\cap f^{-1}(B)}|J_f(x)|dx=\int_B\mathrm{Card}(A\cap f^{-1}(y))dH^{n}(y)$ .

在这里, $|J_f(x)|$ 是 $f$ 的Jacobi矩阵的列向量在 $\mathbb{R}^{n+k}$ 中张成的(维数不高于 $n$ 的)平行六面体的 $n$ 维体积, 而 $H^n$ 是 $\mathbb{R}^{n+k}$ 中的 $n$ 维Hausdorff测度.

等式的左边可以看成" $n$ 维面积元的积分", 而右边则可以看成 $f$ 的像集上的“计算重数的 $n$ 维面积”.

为了证明面积公式, 同样需要一个逼近引理:

命 $E_f$ 是 $f$ 的非临界点集, 即在 $E_f$ 上 $f$ 可微, 而且对所有 $x\in E_f$ , $J_f(x):\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^{n+k}$ 都是单线性映射. 则对于任何 $\alpha>1$ , 都存在单线性映射 $\{L_i\}_{i=1}^\infty$ , 以及分解 $E_f=\bigcup_{i=1}^\infty B_i$ (这里每个 $B_i$ 都是Borel集, 彼此不交), 对所有的 $i$ 都满足

(1) 映射 $f|_{B_i}$ 是单的.

(2) 映射 $f|_{B_i}\circ L_i^{-1}:\mathrm{Im}L_i\rightarrow f(B_i)$ 和 $L_i\circ (f_{B_i})^{-1}: f(B_i)\rightarrow\mathrm{Im}L_i$ 都是Lipschitz的, 具有不大于 $\alpha$ 的Lipschitz常数.

(3) 对任何 $x\in B_i$ , $y\in\mathbb{R}^{n}$ , 有 $\alpha^{-1}|L_iy|\leq |J_f(x)y|\leq\alpha|L_iy|$ .

(4) 对任何 $x\in B_i$ , 有 $\alpha^{-n}|\det L_i|\leq|J_f(x)|\leq\alpha^n|\det L_i|$ .

这个引理与前一节的逼近引理显然有类似的直观解释. 现在来证明它. 选 $\varepsilon>0$ 使得 $\alpha^{-1}+\varepsilon<1<\alpha-\varepsilon$ . 设 $\mathcal{G}\subset \mathrm{GL}(\mathbb{R}^n)$ 是可数稠密集. 对每个 $L\in\mathcal{G}$ 和每个正整数 $j$ , 令 ${E}_L^j$ 满足如下条件的 $x\in E_f$ 的集合(如果这样的 $x$ 不存在, 则设为空集):

(a) 对任何 $w\in\mathbb{R}^n$ , 均有 $(\alpha^{-1}+\varepsilon)|Lw|\leq|J_f(x)w|\leq(\alpha-\varepsilon)|Lw|$ .

(b) 对任何 $y\in B(x,1/j)$ , 均有 $|f(y)-f(x)-J_f(x)(y-x)|<\varepsilon|L(y-x)|$ .

容易说明, 任何 $x\in{E}_f$ 都属于某个 ${E}_L^j$ . 实际上, 写 $J_f(x)=UT$ , 其中 $U:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^{n+k}$ 是等距嵌入, $T\in \mathrm{GL}(\mathbb{R}^n)$ . 选充分接近 $T^{-1}$ 的 $L\in\mathcal{G}$ , 使得 $\|TL^{-1}\|<\alpha-\varepsilon$ , $\|LT^{-1}\|<(\alpha^{-1}+\varepsilon){^{-1}}$ . 这适合(a)款. 又由可微性, 可选充分大的 $j$ 使得

$|f(y)-f(x)-J_f(x)(y-x)|<\varepsilon|y-x|/\|L\|^{-1}$ .

这适合(b)款.

由这两条要求, 立刻可以看出, 若 $x,y\in{E}^j_L$ 且 $|x-y|<1/j$ , 则

$\alpha^{-1}|L(y-x)|\leq|f(y)-f(x)|\leq\alpha|L(y-x)|$ .

最后来构造所需要的分解. 对每个 ${E}_L^j$ , 显然(相对开的)集族 $\{B(x,1/(2j))\cap{E}_L^j\}_{x\in{E}_L^j}$ 覆盖了 ${E}_L^j$ . 根据可分性, 可以选出一个可数的子覆盖 $\mathcal{C}_L^j$ . 则集族

$\bigcup_{L\in\mathcal{G},j\in\mathbb{N}}\mathcal{C}_L^j$

就给出了所要的分解. 如果集族内有集合彼此相交, 则可以用 $B_i\setminus\cup_{j=1}^{i-1}B_j$ 来代替 $B_i$ 而得到不交的集族. 根据 $E_L^j$ 的定义就得到了引理的结论. 注意, 引理的第(4)条可以通过奇异值分解由第(3)条推出.

现在来证明面积公式. 显然可以以 $A\cap f^{-1}(B)$ 代 $A$ , 从而只需要对 $B=\mathbb{R}^{n+k}$ 证明就够了. 又因为 $f$ 几乎处处可微, 且将零测集映射为 $H^n-$ 零测集, 故又只需要假定 $f$ 在 $A$ 上点点可微就够了.

沿用上面引理的记号. 首先假定 $A\subset E_f$ . 固定 $\alpha>1$ , 并作相应的分解 $E_f=\bigcup_{i=1}^\infty B_i$ . 写 $A_i=A\cap B_i$ . 根据引理第(4)条, 有

$\begin{aligned}\alpha^{-n}H^n(L_i(A_i))&=\alpha^{-n}|\det L_i||A_i|\leq\int_{A_i}|J_f(x)|dx\\&\leq\alpha^n|\det L_i||A_i|\leq\alpha^nH^n(L_i(A_i))\end{aligned}$

但根据引理的第(1)(2)条和Lipschitz映射的性质(Hausdorff测度在Lipschitz映射下的变化), 得到

$\alpha^{-n}H^n(L_i(A_i))\leq f(A_i)\leq\alpha^nH^n(L_i(A_i))$ .

于是

$\alpha^{-2n}H^n(f(A_i))\leq\int_{A_i}|J_f(x)|dx\leq\alpha^{2n}H^n(f(A_i))$ .

两边对 $i$ 求和; 注意到 $\mathrm{Card}(A_i\cap f^{-1}(y))=I_{f(A_i)}(y)$ , 从而

$\begin{aligned}\sum_{i=1}^\infty H^n(f(A_i))&=\sum_{i=1}^\infty\int_{\mathbb{R}^{n+k}}I_{f(A_i)}(y)dH^n(y)\\&=\int_{\mathbb{R}^{n+k}}\sum_{i=1}^\infty\mathrm{Card}(A_i\cap f^{-1}(y))dH^n(y)\end{aligned}.$

由于诸 $A_i$ 相互不交, 故右边的被积函数等于 $\mathrm{Card}(A\cap f^{-1}(y))$ . 由此

$\begin{aligned}\alpha^{-2n}\int_{\mathbb{R}^{n+k}}\mathrm{Card}&(A\cap f^{-1}(y))dH^n(y)\leq\int_A|J_f(x)|dx\\&\leq\alpha^{2n}\int_{\mathbb{R}^{n+k}}\mathrm{Card}(A\cap f^{-1}(y))dH^n(y)\end{aligned}.$

命 $\alpha\rightarrow1$ 就得到了结论.

然后假定 $J_f(x)$ 对于 $x\in A$ 都不是单映射. 这时只需要证明Sard型的结论: $f(A)$ 是 $H^n-$ 零测集; 这样, $\mathrm{Card}(A\cap f^{-1}(y))$ 对 $H^n-$ 几乎一切 $y\in\mathbb{R}^{n+k}$ 都等于零, 从而完成证明. 为此, 固定 $\varepsilon>0$ , 命 $p:\mathbb{R}^{n+k}\rightarrow\mathbb{R}^n$ 是正交投影, 又定义Lipschitz映射 $g:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n+k}\times\mathbb{R}^n$ 为