重积分换元公式与面积公式

一般的数学分析课本里并不会给出重积分换元公式的完整证明, 因为完整的证明确实并不容易. 这里尝试给出证明, 并且附上适当的直观解释.

这个公式有一个简单的直观推演. 设 $U\subset\mathbb{R}^n$ 是开集, $f$ 是其上定义的 $C^1$ 微分同胚. 将 $f$ 的微分记为 $J_f$ (并且视之为矩阵值函数), 而Jacobi行列式的绝对值记为 $|J_f|$ . 现在希望计算 $|f(U)|$ , 即像集合 $f(U)$ 的测度. 为此, 将 $U$ “近似”地“分割”成一系列很小的方块 $Q_1,...,Q_m$ , 并设其中心为 $x_1,...,x_m$ . 则在 $Q_i$ 上, 当然有 $f(x)\approx f(x_i)+J_f(x_i)(x-x_i)$ , 从而应当可以期望

$|f(Q_i)|\approx|J_f(x_i)||Q_i|$ .

对 $i$ 求和, 则应有近似等式

$|f(U)|\approx\sum_{i=1}^m|f(Q_i)|\approx\sum_{i=1}^m|J_f(x_i)||Q_i|\approx\int_U|J_f(x)|dx$ .

如果上面的约等于号实际上都是等号, 那么简单的微积分就足够给出换元公式了:

$\int_{f(U)}g(y)dy=\int_U(g\circ f)(x)J_f(x)dx$ .

问题在于, 怎么从线性的 $f(x)\approx f(x_i)+J_f(x_i)(x-x_i)$ 过渡到测度的 $|f(Q_i)|\approx|J_f(x_i)||Q_i|$ ?前一个近似等式表示映射 $x\rightarrow x_i+J_f(x_i)(x-x_i)$ 同 $f$ 的像在距离的意义下很接近, 而后一个则要求从此过渡到测度意义下的接近. 这就要求对映射进行更加细致的研究了.

(一)最简单的情形: 微分同胚

依旧假定 $U\subset\mathbb{R}^n$ 是开集, $f: U\rightarrow f(U)$ 是 $C^1$ 微分同胚. 则的确成立

$|f(U)|=\int_U|J_f(x)|dx$ .

根据基本的实分析知识, 只需要证明, 对于任何闭方块 $Q\subset U$ , 均有

$|f(Q)|=\int_Q|J_f(x)|dx$

就够了.

记 $r(x,y)=f(y)-f(x)-J_f(x)(y-x)$ . 现在固定一个 $\varepsilon>0$ , 选取 $\delta$ 使得对于 $x,y\in Q$ , 只要 $|x-y|<\delta$ , 就有 $|r(x,y)|<\varepsilon|x-y|$ . 根据 $f$ 属 $C^1$ 类的假定, 这总能办得到. 换句话说, 现在要求 $f$ 在 $Q$ 上能够被其一级近似“一致地”逼近. 现在将 $Q$ 分割成一系列全同的直径小于 $\delta/2$ 的方块 $Q_1,...,Q_m$ , 并依旧将它们的中心写为 $x_1,...,x_m$ .

可以证明如下的逼近引理: 如果 $|J_f(x_i)|>\sqrt{\varepsilon}$ , 则有

$\left(1-\sqrt\varepsilon\right)J_f(x_i)(Q_i)\subset f(Q_i)\subset J_f(Q_i)+B_{\varepsilon\delta}(x_i)$ ,

即 $f(Q_i)$ 包含了中心在 $f(x_i)$ 而边长为 $J_f(x_i)(Q_i)$ 的边长 $\left(1-\sqrt\varepsilon\right)$ 倍的平行六面体, 同时又被包含在平行六面体 $J_f(Q_i)$ 的 $\varepsilon\delta$ 邻域之中. 换句话说, 如果导数 $J_f(x_i)$ "足够可逆", 那么在 $Q_i$ 上, $f$ 同其一级近似确实是“非常接近”的(不仅在距离的意义下接近, 实际上二者的像集也差得不多). 这是证明换元公式的最重要的一步.

现在来证明引理. 根据定义, 包含关系 $f(Q_i)\subset J_f(Q_i)+B_{\varepsilon\delta}(x_i)$ 是显然的. 需要证明另一个包含关系. 可以选择 $\delta$ 如此之小, 以至于对所有 $x\in Q_i$ , 都有

$\|\mathrm{id}-J_f(x_i)^{-1}\circ J_f(x)\|<1/2$ .

固定一个 $y\in Q_i$ , 来研究方程

$f(x)=f(x_i)+J_f(x_i)(y-x_i)$ .

它等价于

$\Phi(x)=x$ ,

这里 $\Phi(x)=x-J_f(x_i)^{-1}[f(x)]+J_f(x_i)^{-1}[f(x_i)+J_f(x_i)(y-x_i)]$ . 根据有限增量定理, 易见映射 $\Phi$ 具有Lipchitz常数1/2. 进一步的简单计算表明, 对于 $x\in Q_i$ , 有

$|\Phi(x)-y|<\sqrt{\varepsilon}|x-x_i|$ ,

从而只要 $y\in (1-\sqrt{\varepsilon})Q_i$ , $\Phi$ 便将 $Q_i$ 映入自身, 所以是压缩映射, 故在 $Q_i$ 中存在唯一的不动点. 这就证明了 $\left(1-\sqrt\varepsilon\right)J_f(x_i)(Q_i)\subset f(Q_i)$ . 引理证明完毕.

现在来估计误差

$\left(\sum_{i=1}^m|J_f(x_i)||Q_i|\right)-|f(Q)|=\sum_{i=1}^m\left(|J_f(x_i)||Q_i|-f(Q_i)\right)$ .

对每一个 $i$ , 如果 $|J_f(x_i)|\leq\varepsilon$ , 则可直接算得 $||J_f(x_i)||Q_i|-f(Q_i)|<C_n|Q_i|\varepsilon$ . 若 $|J_f(x_i)|>\varepsilon$ , 则使用引理中的包含关系, 可得到

$|J_f(x_i)|Q_i|-f(Q_i)|\leq |[J_f(x_i)Q_i+B_{\varepsilon\delta}]\setminus[(1-\sqrt{\varepsilon})J_f(x_i)Q_i]|<C_n|Q_i|\varepsilon$ .

这样, 只需要令分割 $Q=\bigcup_{i=1}^mQ_i$ 的直径趋于零, 就得到了所需要的结论.

(二)一个较难的推广: 面积公式

几何测度论中的面积公式是对重积分换元公式的一个比较难的推广. 它的叙述如下:

设 $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^{n+k}$ 是Lipschitz映射, $A\subset\mathbb{R}^n,B\subset\mathbb{R}^{n+k}$ 是可测集. 则成立公式

$\int_{A\cap f^{-1}(B)}|J_f(x)|dx=\int_B\mathrm{Card}(A\cap f^{-1}(y))dH^{n}(y)$ .

在这里, $|J_f(x)|$ 是 $f$ 的Jacobi矩阵的列向量在 $\mathbb{R}^{n+k}$ 中张成的(维数不高于 $n$ 的)平行六面体的 $n$ 维体积, 而 $H^n$ 是 $\mathbb{R}^{n+k}$ 中的 $n$ 维Hausdorff测度.

等式的左边可以看成" $n$ 维面积元的积分", 而右边则可以看成 $f$ 的像集上的“计算重数的 $n$ 维面积”.

为了证明面积公式, 同样需要一个逼近引理:

命 $E_f$ 是 $f$ 的非临界点集, 即在 $E_f$ 上 $f$ 可微, 而且对所有 $x\in E_f$ , $J_f(x):\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^{n+k}$ 都是单线性映射. 则对于任何 $\alpha>1$ , 都存在单线性映射 $\{L_i\}_{i=1}^\infty$ , 以及分解 $E_f=\bigcup_{i=1}^\infty B_i$ (这里每个 $B_i$ 都是Borel集, 彼此不交), 对所有的 $i$ 都满足

(1) 映射 $f|_{B_i}$ 是单的.

(2) 映射 $f|_{B_i}\circ L_i^{-1}:\mathrm{Im}L_i\rightarrow f(B_i)$ 和 $L_i\circ (f_{B_i})^{-1}: f(B_i)\rightarrow\mathrm{Im}L_i$ 都是Lipschitz的, 具有不大于 $\alpha$ 的Lipschitz常数.

(3) 对任何 $x\in B_i$ , $y\in\mathbb{R}^{n}$ , 有 $\alpha^{-1}|L_iy|\leq |J_f(x)y|\leq\alpha|L_iy|$ .

(4) 对任何 $x\in B_i$ , 有 $\alpha^{-n}|\det L_i|\leq|J_f(x)|\leq\alpha^n|\det L_i|$ .

这个引理与前一节的逼近引理显然有类似的直观解释. 现在来证明它. 选 $\varepsilon>0$ 使得 $\alpha^{-1}+\varepsilon<1<\alpha-\varepsilon$ . 设 $\mathcal{G}\subset \mathrm{GL}(\mathbb{R}^n)$ 是可数稠密集. 对每个 $L\in\mathcal{G}$ 和每个正整数 $j$ , 令 ${E}_L^j$ 满足如下条件的 $x\in E_f$ 的集合(如果这样的 $x$ 不存在, 则设为空集):

(a) 对任何 $w\in\mathbb{R}^n$ , 均有 $(\alpha^{-1}+\varepsilon)|Lw|\leq|J_f(x)w|\leq(\alpha-\varepsilon)|Lw|$ .

(b) 对任何 $y\in B(x,1/j)$ , 均有 $|f(y)-f(x)-J_f(x)(y-x)|<\varepsilon|L(y-x)|$ .

容易说明, 任何 $x\in{E}_f$ 都属于某个 ${E}_L^j$ . 实际上, 写 $J_f(x)=UT$ , 其中 $U:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^{n+k}$ 是等距嵌入, $T\in \mathrm{GL}(\mathbb{R}^n)$ . 选充分接近 $T^{-1}$ 的 $L\in\mathcal{G}$ , 使得 $\|TL^{-1}\|<\alpha-\varepsilon$ , $\|LT^{-1}\|<(\alpha^{-1}+\varepsilon){^{-1}}$ . 这适合(a)款. 又由可微性, 可选充分大的 $j$ 使得

$|f(y)-f(x)-J_f(x)(y-x)|<\varepsilon|y-x|/\|L\|^{-1}$ .

这适合(b)款.

由这两条要求, 立刻可以看出, 若 $x,y\in{E}^j_L$ 且 $|x-y|<1/j$ , 则

$\alpha^{-1}|L(y-x)|\leq|f(y)-f(x)|\leq\alpha|L(y-x)|$ .

最后来构造所需要的分解. 对每个 ${E}_L^j$ , 显然(相对开的)集族 $\{B(x,1/(2j))\cap{E}_L^j\}_{x\in{E}_L^j}$ 覆盖了 ${E}_L^j$ . 根据可分性, 可以选出一个可数的子覆盖 $\mathcal{C}_L^j$ . 则集族

$\bigcup_{L\in\mathcal{G},j\in\mathbb{N}}\mathcal{C}_L^j$

就给出了所要的分解. 如果集族内有集合彼此相交, 则可以用 $B_i\setminus\cup_{j=1}^{i-1}B_j$ 来代替 $B_i$ 而得到不交的集族. 根据 $E_L^j$ 的定义就得到了引理的结论. 注意, 引理的第(4)条可以通过奇异值分解由第(3)条推出.

现在来证明面积公式. 显然可以以 $A\cap f^{-1}(B)$ 代 $A$ , 从而只需要对 $B=\mathbb{R}^{n+k}$ 证明就够了. 又因为 $f$ 几乎处处可微, 且将零测集映射为 $H^n-$ 零测集, 故又只需要假定 $f$ 在 $A$ 上点点可微就够了.

沿用上面引理的记号. 首先假定 $A\subset E_f$ . 固定 $\alpha>1$ , 并作相应的分解 $E_f=\bigcup_{i=1}^\infty B_i$ . 写 $A_i=A\cap B_i$ . 根据引理第(4)条, 有

$\begin{aligned}\alpha^{-n}H^n(L_i(A_i))&=\alpha^{-n}|\det L_i||A_i|\leq\int_{A_i}|J_f(x)|dx\\&\leq\alpha^n|\det L_i||A_i|\leq\alpha^nH^n(L_i(A_i))\end{aligned}$

但根据引理的第(1)(2)条和Lipschitz映射的性质(Hausdorff测度在Lipschitz映射下的变化), 得到

$\alpha^{-n}H^n(L_i(A_i))\leq f(A_i)\leq\alpha^nH^n(L_i(A_i))$ .

于是

$\alpha^{-2n}H^n(f(A_i))\leq\int_{A_i}|J_f(x)|dx\leq\alpha^{2n}H^n(f(A_i))$ .

两边对 $i$ 求和; 注意到 $\mathrm{Card}(A_i\cap f^{-1}(y))=I_{f(A_i)}(y)$ , 从而

$\begin{aligned}\sum_{i=1}^\infty H^n(f(A_i))&=\sum_{i=1}^\infty\int_{\mathbb{R}^{n+k}}I_{f(A_i)}(y)dH^n(y)\\&=\int_{\mathbb{R}^{n+k}}\sum_{i=1}^\infty\mathrm{Card}(A_i\cap f^{-1}(y))dH^n(y)\end{aligned}.$

由于诸 $A_i$ 相互不交, 故右边的被积函数等于 $\mathrm{Card}(A\cap f^{-1}(y))$ . 由此

$\begin{aligned}\alpha^{-2n}\int_{\mathbb{R}^{n+k}}\mathrm{Card}&(A\cap f^{-1}(y))dH^n(y)\leq\int_A|J_f(x)|dx\\&\leq\alpha^{2n}\int_{\mathbb{R}^{n+k}}\mathrm{Card}(A\cap f^{-1}(y))dH^n(y)\end{aligned}.$

命 $\alpha\rightarrow1$ 就得到了结论.

然后假定 $J_f(x)$ 对于 $x\in A$ 都不是单映射. 这时只需要证明Sard型的结论: $f(A)$ 是 $H^n-$ 零测集; 这样, $\mathrm{Card}(A\cap f^{-1}(y))$ 对 $H^n-$ 几乎一切 $y\in\mathbb{R}^{n+k}$ 都等于零, 从而完成证明. 为此, 固定 $\varepsilon>0$ , 命 $p:\mathbb{R}^{n+k}\rightarrow\mathbb{R}^n$ 是正交投影, 又定义Lipschitz映射 $g:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n+k}\times\mathbb{R}^n$ 为