JS计算精度小记

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一. 前置知识点

1. 十进制如何转为二进制?

整数部分除二取余数, 直到商为0,逆序排列,小数部分乘2取整,顺序排列,直到积中小数部分为0或者到达要求精度

8转为二进制

8 / 2 = 4...00
4 / 2 = 2...00
2 / 2 = 1...00
1 / 2 = 0...11

二进制结果为:1000

0.25转为二进制

0.25 * 2 = 0.500
0.50 * 2 = 1.001

二进制结果为:01

于是可得出8.25的二进制表示:1000.01
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2. 二进制如何转为十进制?

注意:二进制转为十进制不分整数部分与小数部分。


二进制1000.01转为十进制

1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0 + 0 * 2^-1 + 0 * 2^-2 = 8.25
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二. javascript是如何保存数字的

JavaScript 里的数字是采用 IEEE 754 标准的 64 位 double 双精度浮点数

  1. sign bit(符号): 用来表示正负号,1位 (0表示正,1表示负)

  2. exponent(指数): 用来表示次方数,11位

  3. mantissa(尾数): 用来表示精确度,52位

对于没有接触的读者来说,以上可能理解起来很模糊,没关系,接下来我们用案例具体说明其流程,先看一下上述的十进制数8.25在JS中是如何保存的

  1. 十进制的8.25会被转化为二进制的1000.01
  2. 二进制1000.01可用二进制的科学计数法1.00001 * 2^4表示;
  3. 1.00001 * 2^4的小数部分00001(二进制)就是mantissa(尾数)了,4(十进制)加上1023就是exponent(指数)了(这里后面讲解为什么要加上1023);
  4. 接下来指数4要加上1023后转为二进制10000000011
  5. 我们的十进制8.25是一个正数,所以符号为二进制表示为0
  6. 8.25最终的二进制保存0-10000000011-0000100000000000000000000000000000000000000000000000

注意点:

  1. 不够位的我们都用0补充;
  2. 步骤2得出的科学计数中的整数本分1我们好像忘记,这里因为Javascript为了更最大限度的提高精确度,而省略了这个1, 这样在我们我们本来只能保存(二进制)52位的尾数,实际是有(二进制)53位的;
  3. 指数部分是11位,表示的范围是[0, 2047],由于科学计数中的指数可正可负,所以,中间数为 1023,[0,1022] 表示为负,[1024,2047] 表示为正, 这也解释了为什么我们科学计数中的指数要加上1023进行存储了。

三. javascript是如何读取数字的

我们还是以8.25的二进制0-10000000011-0000100000000000000000000000000000000000000000000000来讲述

  1. 首先我们获取指数部分的二进制1000000001,转化为十进制为10271027减去1023就是我们实际的指数4了;
  2. 获取尾数部分0000100000000000000000000000000000000000000000000000实际是0.00001(后面的0就不写了),然后加上我们忽略的1,得出1.00001
  3. 因为首位为0,所以我们的数为正数,得出二进制的科学计数为1.00001 * 2^4,接着再转为十进制数,就得到了我们的8.25

四. 从0.1+0.2来看javascript精度问题

这里就要进入我们的正题了,看懂了前面的原理说明,这部分将会变得很好理解了。

要计算0.1+0.2,首先计算要先读取到这两个浮点数

0.1存储为64位二进制浮点数

没有忘记以上步骤吧~

  1. 先将0.1转化为二进制的整数部分为0,小数部分为0001100110011001100110011001100110011...咦,这里居然进入了无限循环,那怎么办呢?暂时先不管;
  2. 我们得到的无限循环的二进制数用科学计数表示为1.100110011001100110011001100110011... * 2^-4
  3. 指数位即是-4 + 1023 = 1019,转化位11位二进制数01111111011
  4. 尾数位是无限循环的,但是双精度浮点数规定尾数位52位,于是超出52位的将被略去,保留1001100110011001100110011001100110011001100110011010
  5. 最后得出0.1的64位二进制浮点数:0-01111111011-1001100110011001100110011001100110011001100110011010

同上,0.2存储为64位二进制浮点数:0-01111111100-1001100110011001100110011001100110011001100110011010

读取到两个浮点数的64为二进制后,再将其转化为可计算的二进制数

  1. 0.1转化为1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010 * 2^(1019 - 1023)——0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010;
  2. 0.2转化为1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010 * 2^(1020 - 1023)——0.0011001100110011001100110011001100110011001100110011010;

接着将两个浮点数的二进制数进行加法运算,得出0.0100110011001100110011001100110011001100110011001100111转化为十进制数即为0.30000000000000004

不难看出,精度缺失是在存储这一步就丢失了,后面的计算只是在不精准的值上进行的运算。

五. javascript如何解决精度问题出现的计算错误问题

对于小数或者整数的简单运算可如下解决:

function numAdd(num1, num2) { 
  let baseNum, baseNum1, baseNum2; 
  try { 
    baseNum1 = String(num1).split(".")[1].length; 
  } catch (e) { 
    baseNum1 = 0; 
  } 
  try { 
    baseNum2 = String(num2).split(".")[1].length; 
  } catch (e) { 
    baseNum2 = 0;
  } 
  baseNum = Math.pow(10, Math.max(baseNum1, baseNum2));
  return (num1 * baseNum + num2 * baseNum) / baseNum;
};

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如:0.1 + 0.2 通过函数处理后,相当于 (0.1 * 10 + 0.2 * 10) / 10

但是如同我们前面所了解的,浮点数在存储的时候就已经丢失精度了,所以浮点数乘以一个基数仍然会存在精度缺失问题,比如2500.01 * 100 = 250001.00000000003, 所以我们可以在以上函数的结果之上使用toFixed(),保留需要的小数位数。

一些复杂的计算,可以引入一些库进行解决。

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