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AVL树:解决BST可能导致的长链问题

BST存在的问题

BST的性质有可能导致所有的数据都插在了同一个链路上,导致没有一个节点有左子树,都是右子树,像是一个链表,失去了它的lgn的性质

AVL的性质

AVL是作者的名字缩写

每个左子树的高度与右子树的高度差值不大于1

如果是AVL+BST需要只需要在BST的基础上加上AVL的性质,AVL本身需要去维护高度

N_h为在一个高度为h的AVL中节点的最少的数量,有

N_h=N_{h-1}+N_{h-2}+1

一个AVL树,除去根节点这层,至少包含的左右两部分为:一边是高度为h-1,另一边是高度为h-2

从上式可得:N_h>2N_{h-2}=\theta(2^{h/2}),即h<2lgn,因而得到AVL的高度肯定是lgn

AVL树+BST的插入

插入过程中,一旦出现层级超过1的情况,需要进行旋转,而对应出现2层的高度差别,只会出现如下4种

  • 情况1:
1  
\  
 2 
  \ 
   3
需要进行一次左旋
  2  
 / \ 
1   3
复制代码
  • 情况2
1  
 \ 
  3 
 / 
2
先右旋
1  
 \  
  2 
  \ 
   3
再左旋
  2  
 / \ 
1   3
复制代码
  • 情况3
   3 
  / 
 2  
/  
1 
右旋
  2  
 / \ 
1  3
复制代码
  • 情况4
 3 
/  
1  
\  
 2
对1进行左旋
   3 
  / 
 2  
/  
1
再右旋
  2  
 / \ 
1  3
复制代码

保持平衡的算法为

def _reblance(self,node):
	while node is not None:
		self._update_height(node)
		if self._height(node.left) - self._height(node.right) >=2:
		//左子树要高
			nodeL = node.left 
			if self._height(nodeL.left) < self._height(nodeL.right):
			    //情况4
				self._left_roate(nodeL)
			//情况3+情况4
			self._right_roate(node)
		elif self._height(node.right) - self._height(node.left) >=2:
		//右子树要高
			nodeR = node.right 
			if self._height(nodeR.left) > self._height(nodeR.right):
			    //情况2
				self._right_roate(nodeR)
			//情况1+情况2
			self._left_roate(node)
		node = node.parent
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左旋

def _left_roate(self,node):
	'''当前节点的右节点高度-左节点高度>=2
	从上到下,按照父子一对一对处理
	'''
	pivot = node.right
	pivot.parent = node.parent 
	if node == self.root:
		self.root = pivot
	else:
		if node.parent.left is node:
			pivot.parent.left = pivot
		else:
			pivot.parent.right = pivot
	tempNode = pivot.left
	pivot.left = node
	node.parent = pivot
	node.right = tempNode
	if tempNode is not None:
		tempNode.parent = node
	self._update_height(pivot)
	self._update_height(node)
复制代码

右旋

def _right_roate(self,node):
	'''当前节点的左节点高度-右节点高度>=2
	右旋表示左边节点高
	'''
	pivot=node.left		
	pivot.parent = node.parent
	if node == self.root:
		self.root=pivot
	else:
		if node.parent.left is node:
			pivot.parent.left = pivot
		else:
			pivot.parent.right = pivot
	node.parent = pivot
	tempNode = pivot.right 
	pivot.right = node
	node.left = tempNode
	if tempNode is not None:
		tempNode.parent = node
	
	self._update_height(pivot)
	self._update_height(node)
复制代码

代码详情