辗转相除法证明了解一下

2018-03-21 2,272 阅读2分钟

写在前面：本着弄懂每一个小知识点的学习原则，打算彻底理清一下辗转相除法。

1 什么是辗转相除法？

辗转相除法，又称欧几里得算法……

2 为什么辗转相除可以求解最大公约数？

可能我们会凭记忆使用这个简单的算法，但是如果我们多问自己一个为什么？思路就有点模糊了，可能会想：“是啊，为什么呢？难道又是玄学？”。下面就给出一系列疑问的证明：

首先我们给定两个数 $a, b$ 并且约定 $a \ge b > 0$ ：

如果 $a\%b = 0$ ，则 $gcd(a, b) = b$
如果 $a\%b \neq 0$ ，则设 $a = n*b + m$
根据辗转相除法，我们可以得出 $gcd(a, b) = gcd(b, a\%b)$ 疑问就在这里，等式为什么成立？我们拆分为两个子问题：

Q1: $gcd(a, b)$ 是 $(b, a\%b)$ 的一个公约数，其中 $a\%b = m$ 。

因为:

a = k_1 * gcd(a, b) \\\\
b = k_2 * gcd(a, b)

所以：

a\%b = m = a - n * b = (k_1 - n * k_2)gcd(a, b)

由于 $(k_1 - n * k_2)$ 是正整数，所以 $gcd(a, b)$ 是 $(b, a\%b)$ 的一个公约数。

Q2: 如何证明 $gcd(a, b)$ 就是 $gcd(b, a\%b)$ ，换就话说如何证明是“最大”公约数？

我们来重新审视一下条件：

\begin{aligned}
b &= k_2 * gcd(a, b) \\\\
a\%b = m = a - n * b &= (k_1 - n * k_2) * gcd(a, b)
\end{aligned}

要想证明 $gcd(a, b)$ 是 $gcd(b, a\%b)$ ，也就是说证明 $k_2, (k_1 - n * k_2)$ 互质，即 $gcd(k_2, k_1 - n * k_2) = 1$ 。

由于 $n$ 是正整数，不好直接证明，那么我们取特殊的当 $n = 1$ 时到底是否成立？即 $gcd(k_2, k_1 - k_2) = 1$ 。如果你对数论有点了解可能立马就知道 $gcd(num1, num2) = gcd(num1, num1 - num2)$ ，又因为 $gcd(k_1, k_2) = 1$ 所以得证；如果你不知道也没关系，我们可以证明，毕竟我们就是来搞懂一个个细节的。

因为：

a = k_1 * gcd(a, b) \\\\
b = k_2 * gcd(a, b)

所以：

gcd(k_1, k_2) = 1

在 $k_1, k_2$ 互质的情况下， $k_1 - k_2$ 不可能含有数值为 $k_1$ 或 $k_2$ 因子。否则 $gcd(k_1, k_2) \neq 1$ 。

所以结论 $gcd(k_2, k_1 - k_2) = 1$ 得证。继续使用这个结论可以得出：

\begin{aligned}
1 &= gcd(k_2, k_1 - k_2) \\\\
&= gcd(k_2, k_1 - k_2 - k_2) \\\\
&= \ldots \\\\
&= gcd(k_2, k_1 - n * k_2)
\end{aligned}

所以有：

gcd(a, b) = gcd(b, a\%b)

然后一直迭代就可以啦！

如果里面有什么错误欢迎指出来，可以一起探讨。

3 如何高效实现？

请参考漫画算法：辗转相除法是什么鬼？

4 参考

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