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前言
上一篇我们介绍了 Octave 的一些基本情况，大家对 Octave 应该已经有了一个基本的了解，我相信看这篇文章的朋友已经在自己的电脑中安装好 Ocatve 了。矩阵的操作是 Octave 的一大特色。这一节，我将讲述 Octave 对于矩阵的一些操作，希望大家在看文章的过程中可以跟着一起敲一下代码，加深一下印象。
矩阵的生成
Octave 中，我们用一个中括号来表示一个矩阵，用分号来分隔每一行，即使在输入的时候不在同一行就像下面这样：
>> A = [1 2; 3 4; 5 6]
A =
1 2
3 4
5 6
>> A = [1 2;
> 3 4;
> 5 6]
A =
1 2
3 4
5 6
>> A = [1,2; 3,4; 5,6]
A =
1 2
3 4
5 6
注意到，你可以通过逗号来区分每行中的每一个元素，但我们一般不这样用，这样看起来不太清晰。那么如果要表示向量该怎么做呢？我们知道，行向量和列向量分别是一行三列和三行一列的矩阵，那举一反三的你一定知道该怎么定义了吧？
>> A = [1 2 3]
A =
1 2 3
>> A = [1; 2; 3]
A =
1
2
3
可以通过冒号来实现具有递进规则的行向量，两个冒号之间的数代表递进的 step 大小，很容易理解，和 Python 的操作有点像。
>> A = 1:0.1:1.5
A =
1.0000 1.1000 1.2000 1.3000 1.4000 1.5000
>> A = 1:5
A =
1 2 3 4 5
通过一些函数可以快速生成一些特殊矩阵
>> ones(2,3)
ans =
1 1 1
1 1 1
>> 2*ones(2,3)
ans =
2 2 2
2 2 2
>> zeros(2,3)
ans =
0 0 0
0 0 0
>> eye(3)
ans =
Diagonal Matrix
1 0 0
0 1 0
0 0 1
>> rand(2,3)
ans =
0.480397 0.505024 0.056767
0.336853 0.774152 0.535887
>> magic(3)
ans =
8 1 6
3 5 7
4 9 2
ones() 生成全是 1 的矩阵，你可以使用数字和 ones() 生成的矩阵相乘，它和 zeros() 还有 rand() 一样，第一个参数代表行数，第二个参数代表列数。zeros() 生成元素全是 0 的矩阵，而 rand() 可以生成元素是 0-1 之间随机数的矩阵。eye()可以生成单位矩阵，熟悉线性代数的朋友可能会对单位矩阵比较熟悉，它很有用，但线性代数的知识不是本文的重点。形式上可以理解为正斜对角线都是 1 的矩阵。
magic(n) 生成一个 n 阶矩阵，这个矩阵的特点就是不论横线，竖线还是对角线，加起来的值都是一样的，数字还不能重复，必须是从 1 到 n 的平方，很有趣吧。
矩阵的操作
讲述矩阵的操作之前，让我们先来定义一个 3x2 的矩阵 A，方便我们理解代码
>> A = [1 2; 3 4; 5 6]
A =
1 2
3 4
5 6
我们可以通过 size 和 length 函数来获取矩阵维度的相关信息
>> size(A)
ans =
3 2
>> size(A,1)
ans = 3
>> size(A,2)
ans = 2
>> length(A)
ans = 3
size(A) 返回一个行向量，这个行向量代表了 A 的维度，这里输出的 3 2 代表 A 是一个 3 行 2 列的矩阵。size()还可以添加第二个参数，size(A,1) 输出 A 的第一个维度的数量，也就是行数，2 代表的是列数。length(A) 返回的是 A 矩阵中最大维度的大小，所以这里返回的是 A 的行数 3，一般我们都是对向量使用 length() 来直接返回向量的长度。
我们来看看对于矩阵的各种读取操作吧。
>> A(3,2)
ans = 6
>> A(:)
ans =
1
2
3
4
5
6
>> A(1:6)
ans =
1 3 5 2 4 6
A(3,2) 代表取 A 矩阵第三行第二列的元素，这个比较好理解。A(:) 会将矩阵转化为一个列向量，A(1:6) 将按列顺序输出 A 矩阵第 1 到 第 6 个元素。这些都还是比较简单的，后两个往往在求和的时候用的比较多，我们后面会说到。
我们来看一波天秀操作
>> A(:,2)
ans =
2
4
6
>> A(2,:)
ans =
3 4
>> A([2,3],:)
ans =
3 4
5 6
>> A(:,2) = [1; 3; 5]
A =
1 1
3 3
5 5
>> A = [A,[1; 2; 3]]
A =
1 1 1
3 3 2
5 5 3
>> B = 5*ones(3)
B =
5 5 5
5 5 5
5 5 5
>> [A B] % [A,B] % 号是注释
ans =
1 1 1 5 5 5
3 3 2 5 5 5
5 5 3 5 5 5
>> [A; B]
ans =
1 1 1
3 3 2
5 5 3
5 5 5
5 5 5
来，我们一点点看。A(:,2) 输出 A 的第二列，A(2,:) 输出 A 的第二行，A([2,3],:) 输出第二行和第三行，你可以把冒号换成数字这样就可以输出这几行的第几个元素了。A(:,2) = [1; 3; 5] 将 A 的第二列替换成 [1; 3; 5] 这个列向量。[A B] 和 [A, B] 的含义一样，将 B 并到 A 的右边。[A; B] 则是把 B 并到 A 的下面。
矩阵的运算
这节将讲一些矩阵运算的操作，涉及到一些线代的知识，如果有疑惑，可以自己去重温下，你大概只要知道矩阵相乘和逆矩阵是怎么一回事就行了。先来看一段代码
>> A = [1 2; 3 4; 5 6];
>> B = [1 1 1;2 2 2;];
>> C = [11 12; 13 14; 15 16];
>> A * B
ans =
5 5 5
11 11 11
17 17 17
>> A .* C
ans =
11 24
39 56
75 96
我们先定义了三个矩阵，还记得吗，末尾加分号将不会打印出来。A * B 代表矩阵 A 和 B 的乘积，这是数学上的乘积方式，所以一个三行两列的矩阵乘以两行三列的矩阵，将得到一个三行三列的矩阵，这里就不具体说乘积运算的规则了。A .* C 会将 A 和 C 的同位置元素相乘，这就代表了 A 和 C 的维度必须要一样。
我们来看下矩阵和数字的操作
>> A + 1
ans =
2 3
4 5
5 6
>> A * 2
ans =
2 4
6 8
10 12
>> A .^ 2
ans =
1 4
9 16
25 36
>> A / 2
ans =
0.50000 1.00000
1.50000 2.00000
2.50000 3.00000
>> 1 ./ A
ans =
1.00000 0.50000
0.33333 0.25000
0.20000 0.16667
A+1 将每个元素作加法，A * 2 把 A 中每个元素都乘以 2，当然 2 * A 也可以，结果一致，我们在上面曾经使用 5 * ones(3) 来快速生成三阶全是 5 的矩阵。A .^ 2 代表对 A 每个元素进行次方操作。A / 和 ./ 含义是一样的，但 1 / A 将会报错
>> 1 / A
error:operator /:nonconformat arguments
>> 1 / [2]
ans = 0.50000
>> 1 / 2
ans = 0.50000
除数必须得是 1x1 的矩阵或者是个数，总而言之它这是真正的算数除法运算了。
当然还有一些对元素做操作的运算，比如 log(A) 是每个元素求对数，exp(A) 是对每个元素求 e 的指数，abs(A) 是求绝对值，当然还有很多，就不一一列举了。大家可以通过 help 指令直接进行文档查阅。
下面看看转置矩阵和逆矩阵如何表示
>> A'
ans =
1 3 5
2 4 6
>> (A')'
ans =
1 2
3 4
5 6
>> flipud(A)
ans =
5 6
3 4
1 2
>> B = pinv(A)
B =
-1.33333 -0.33333 0.66667
1.08333 0.33333 -0.41667
>> A * B % B * A
ans =
1.00000 0.00000
-0.00000 1.00000
用单引号 ' 来表示矩阵的转置矩阵。flipud(A) 将矩阵翻转，这个函数一般用在翻转范围矩阵 flipud(eye(n)) ，这样就可以获得一个反对角线单位矩阵了。
pinv(A) 表示 A 的逆矩阵，逆矩阵和原矩阵相乘是单位矩阵，值得注意的是，不是每一个矩阵都有逆矩阵，但 pinv() 始终都能得到结果，实际上 pinv() 获取的是一个伪逆矩阵，但这不重要，你可以把 pinv() 当作对矩阵的求逆，这里就不具体深究了。
到目前为止，矩阵的运算还是比较简单的，相比起来，下面的运算就有点蒂花之秀了。
>> max(A)
ans =
5 6
>> max(A,[],1)
ans =
5 6
>> max(A,[],2)
ans =
2
4
6
>> [val, ind] = max(A)
val =
5 6
ind =
3 3
>> max(A,[3 3; 3 3; 3 3])
ans =
3 3
3 4
5 6
>> A > 3
ans =
0 0
0 1
1 1
>> find([1 2 3] > 1)
ans =
2 3
>> [r,c] = find(A > 3)
r =
3
2
3
c =
1
2
2
max(A) 将求每列的最大值，并以行向量形式输出，默认形式等同于 max(A,[],1)，如果求每列最大值，则把第三个参数改为2。用 [val, ind] 接收的话，val 的值为最大值，ind 为这个值在该列的索引位置。max(A,B) 将取每个位置中 A 与 B 较大的元素。min 和 max 操作是一样的。
A > 3 输出一个同维度的矩阵，符合条件的为 1 ，不符合条件的为 0。find() 函数中如果是一个向量，则返回符合条件的索引位置，如果是一个矩阵，则用 [r,c] 返回元素的索引，r 代表行号，c 代表列号，比如例子中第一个匹配值 A(3,1) 是 5 ，的确大于 3。
最后看下求和
>> sum(A,1)
ans =
9 12
>> sum(A,2)
ans =
3
7
11
>> sum(sum(A))
ans = 21
sum 和 max 一样，默认情况下是列运算，行向量输出，但参数设置为 2 的时候，则是行求和，列向量输出。所以就像例子中一样，如果我们要求一个矩阵所有元素的和，只需要做两次 sum(sum(A)) 即可。
总结
Octave 矩阵方面的介绍就这么多了，写的很多，权当一个笔记吧，实际上还有很多操作，大家可以使用 help 指令或者观看官方文档来进行学习。
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