最短路径

最短路径 (shortest paths) 的相关实际场景比较广泛，比如地图、网络等。

单源最短路径 (SSSP / single-source shortest paths) 是求解给定某一源点到其所有可达点的最短路径，即使得这些无权路径的边数或者带权路径的权重和最小。

Dijkstra (/ˈdaɪkstrə/) 算法解决的是非负权图的 SSSP，未使用堆查找优化时，也被称为 Dijkstra 暴力算法。Dijkstra 译作“迪杰斯特拉“。

松弛 (Relax)

"松弛"这个术语出现得较多，含义同数学意义上的松弛相同，减少约束。图的两点之间存在多条路径，找到最短的一条需要比较，每比较一次就减少一次约束。

但我认为此处从数学中沿用这个命名并不好。

上图表示在 SSSP 中，忽略原图中的其他点和边，探索过程中某一时刻点 A 对其邻接点的松弛。

红框中的下标：

• 第一个：在当前探索范围内，源点到该点的的距离。
• 第二个：相应路径上的父节点。和各顶点一样，都是实际以数字存储，-1 表示没有父节点。

观察 A B 两点状态，3 + 1 < 5，说明 A 点所处路径向 B 延伸后比此前源点到 B 的路径更短，松弛有效。
同理可得对 C 松弛有效，对 D 松弛无效。
如果之后某刻 A 点再次被有效松弛了，那么应该继续松弛 B C D 点。

术语补充

读者可能不熟悉图论基础知识的一些符号，特此解释一部分。

• $G$：图
• $V$: 点集
• $E$：边集
• $w$: 权重函数
• $\forall$: 任意
• $(u, v)$: 从点 $u$ 到点 $v$ 的边
• $\in$: 属于

所以 $\forall (u, v) \in E, w(u,v) \geq 0$ 表示边集中任意边的权重 $\geq 0$。 其他的相关符号还有：

• $|V|$ 或者 $|G.V|$表示集合 $V$ 的 size
• $\delta(u,v)$ 表示图中 $u, v$ 两点的距离（最短路径的权重和）。
• $V_\delta \cup \{e\}$ 表示向点集 $V_\delta$ 中加入点 $e$。
• $G.Adj$ 表示邻接表

原理

如上图所示，给定图 $G = (V, E, w)，\forall (u,v) \in E, \ w(u,v)\geq 0$。$a$ 为源点，求其到各可达点的最短路径。
设红框区域中的点集为 $V_\delta$，表示 $V$ 中前 $|V_\delta|$ 个从 $a$ 出发最近的点。
记某时刻 $V_{\delta} = \{a, c, d, f\}$。这与 Prim 算法很相似。

从 $V_\delta$ 外的可直达点 $b, e$ 中选择离 $a$ 最近的 $e$ 点，记录相应路径 $\langle a, d, e\rangle$ 和其长度。
从 $V_\delta$ 外的不可直达点 $h, g$ 中任选一点记为 $v^\leadsto$，路径 $a \leadsto v^\leadsto$ 上一定经过 $b$ 或 $e$，记该点为 $v^\rightarrow \in \{b, e\}$，路径为 $a \leadsto v^\rightarrow \leadsto v^\leadsto$。
既然 $\forall (u,v) \in E,\ w(u, v) \geq 0$，则 $\delta(a, v^\rightarrow) \leq \delta(a, v^\leadsto)$
根据 $e$ 点的选择条件可知 $\delta(a, e) \leq \delta(a, v^\rightarrow)$，结合上式可得 $\delta(a, e) \leq \delta(a, v^\leadsto)$
所以 $e$ 为 $\{b,e,h,g\}$ 即 $V- V_\delta$ 中离 $a$ 最近的点，此前记录的 $\langle a,d,e \rangle$ 为最短路径。

如上所示，令 $V_\delta = V_\delta \cup \{e\}$。再执行上一步，逐渐扩张即可找到 $a$ 到所有可达点的最短路径。

初始 $V_\delta = \{a\}$

Dijkstra 算法和 Prim 算法相比，取得周围最近点的思路有所变化，详见下面的算法实现。

求解

$[-1] \times |G.V|$ 表示长度为 $|G.V|$，元素都为 $-1$ 的数组。 读者在初次接触伪代码时会不习惯。但据笔者的调查反馈，习惯后体验还是不错的。具体的术语和符号均在《图论入门》的附录中有介绍。

松弛部分被我抽离为一个函数，此函数表示松弛点 $u$ 的所有邻接点。

完整代码

思考为什么松弛前不用判断点 $nearestV$ 的邻接点是否 settled?

答：因为处于 settled 的点已经找到最短距离，松弛会一直无效。

除 Settled 外还有一些常见的命名，如 Visited、Done、Used。从语义上来看，Settled 和 Done 更加合适一些。

在很多只考虑距离的应试题中，$D[v]$ 的更新可以简写为 $D[v] = min(D[v],\ D[nearestV] + w(nearestV, v))$。

复杂度

时间：$O(V^2)$ 空间：$\Theta(V)$

与 Prim 算法的复杂度分析大体相同，但本章考虑不可达导致提前截止的情况，所以时间复杂度不是 $\Theta(V^2)$。还可以用堆查找优化，但实现稍复杂，这在《图论进阶》中有讲到。

练习

给你一个由 n 个节点（下标从 0 开始）组成的无向加权图，该图由一个描述边的列表组成，其中 edges[i] = [a, b] 表示连接节点 a 和 b 的一条无向边，且该边遍历成功的概率为 succProb[i] 。

指定两个节点分别作为起点 start 和终点 end ，请你找出从起点到终点成功概率最大的路径，并返回其成功概率。

如果不存在从 start 到 end 的路径，请 返回 0 。只要答案与标准答案的误差不超过 1e-5 ，就会被视作正确答案。

示例1:

输入：n = 3, edges = [[0,1],[1,2],[0,2]], succProb = [0.5,0.5,0.2], start = 0, end = 2

输出：0.25000

解释：从起点到终点有两条路径，其中一条的成功概率为 0.2 ，而另一条为 0.5 * 0.5 = 0.25

求解：

Dijkstra 算法中的权重累计方式是相加，秉承非递减原则，最短路径上的权重和最小。

本题的权重累计方式是相乘，但概率 $\in [0, 1]$，秉承非递增原则，求解概率最大的路径。

所以可以镜像转换松弛过程，代码如下所示。

根据原题中的提示部分（未展示在这里），可知该图是稀疏图，所以主流解法是二叉堆查找优化的版本。但这不属于内地本科的教学范围，你正常写 Dijkstra 暴力算法一般来说也是能过的。二叉堆查找优化正好也属于《图论进阶》中免费的试读部分，读者有兴趣可以结合《图论入门》中 Prim 算法的两种堆查找优化看一下。

《图论入门》 和 《图论进阶》 是我在 Leetcode 上写的教程，包括更清晰的 PPT 展示、供读者思考的折叠区域、以及配套的练习题。

读者如有困惑尽管指出。也欢迎提出写法建议，不甚感谢！