持续创作，加速成长！这是我参与「掘金日新计划 · 10 月更文挑战」的第27天，点击查看活动详情

python 算法之 Newton-Raphson23

最常用的近似算法通常归因于艾萨克·牛顿。它通常被称为牛顿方法，但有时被称为牛顿-拉夫森方法.24它可以用来找到许多函数的实根，但我们只会在找到一个变量的多项式的实根的背景下来研究它。对具有多个变量的多项式的推广在数学上和算法上都很简单。具有一个变量的多项式（按照惯例，我们将变量写为x）要么是O或有限数量的非零项的总和，例如，3x2 + 2x + 3。每个项（例如 3x2）由一个常量（项的系数，在本例中为 3）乘以升为非负整数指数（在本例中为 2）的变量（在本例中为 x）组成。项中的指数称为该项的度数。多项式的次数是任何单个的最大次数术语。一些示例包括 3（度 0）、2.5x + 12（度 1）和 3x2（度 2）。

如果 p 是多项式，r 是实数，我们将写 p（r） 来代表 x = r 时多项式的值。多项式 p 的根是方程 p = o 的解，即 r 使得 p（r） = 0.So，例如，找到 24 平方根的近似值的问题可以表述为找到 x 使得 x2 - 24 接近 o。

牛顿证明了一个定理，该定理意味着，如果一个值（称为猜测）是多项式根的近似值，那么猜测 - p（猜测）/p'（猜测），其中p'是p的一阶导数，是比猜测更好的近似。

函数 f（x） 的一阶导数可以被认为是表示 f（x） 的值如何随 x 的变化而变化。例如，常量的一阶导数是 o，因为常量的值不会改变。对于任何项 cx'，该项的第一导数是 cp*xp-1。因此，形式多项式的一阶导数

是

要找到一个数字的平方根，比如说 k，我们需要找到一个值 x，使得 x2 - k = 0。这个多项式的一阶导数就是 2x。因此，我们知道，我们可以通过选择作为下一个猜测来改进当前的猜测 - （猜测2 - k）/ 2 *猜测。Eigure 3-7 包含说明如何使用此方法快速找到平方根近似值的代码。

练习：在牛顿-拉夫森的实现中添加一些代码，以跟踪用于查找根的迭代次数。将该代码用作比较牛顿-拉夫森和二分搜索效率的程序的一部分。（你应该发现牛顿-拉夫森的效率要高得多。